NOMBRES (THÉORIE DES)Nombres p-adiques

On peut aborder l'étude d'un problème diophantien (cf. équations diophantiennes) en commençant par chercher les solutions modulo p, un nombre premier quelconque : on est alors devant un problème plus facile, car Z/pZ est un corps. Cette méthode ne donne qu'une information insuffisante pour le problème initial ; on la raffine en étudiant les équations modulo p^m pour tous les entiers m ≥ 1. L'anneau Z/p^mZ n'est pas un corps, mais ses propriétés arithmétiques sont beaucoup plus simples que celles de Z : c'est un anneau fini qui a un seul idéal premier (engendré par la classe de p) ; les autres idéaux sont les puissances de l'idéal premier.

Supposons maintenant qu'on connaisse une solution x_m ∈ Z/p^mZ du problème modulo p^m ; pour tout k ≤ m, on en déduit une solution x_k mod p^k au moyen de l'application canonique évidente :

provenant de l'application identique de Z. Ces considérations nous conduisent à introduire les suites (x_m) telles que x_m ∈ Z/p Z pour tout m et x_k = ϕ_km(x_m) pour k ≤ m. L'ensemble Z_p de ces suites est ainsi une partie du produit :et c'est même un sous-anneau pour la structure d'anneau produit (car les ϕ_km sont des homomorphismes d'anneaux) ; on dit que c'est la limite projective des anneaux Z/p^mZ. L'anneau Z_p ainsi défini s'appelle l'anneau des entiers p-adiques ; la méthode d'approche d'un problème diophantien envisagée plus haut consiste à étudier d'abord le problème dans Z_p. Dans cet article, on donne les principales propriétés arithmétiques de cet anneau.

Généralités

Le noyau de l'homomorphisme canonique Z → Z_p est formé des entiers divisibles par toutes les puissances de p ; il est donc réduit à {0}, et l'homomorphisme considéré est injectif et permet d'identifier Z à un sous-anneau de Z_p. La surjection canonique Z → Z/pⁿZ se décompose en l'injection de Z dans Z_p suivie de la projection de Z_p dans le facteur Z/pⁿZ ; on voit ainsi que cette dernière projection est surjective ; son noyau est l'ensemble des entiers p-adiques (x_m) tels que x_n = 0, ce qui donne x_m = 0 pour m ≤ n et x_m ∈ pⁿZ/p^mZ pour m > n ; autremen [...]

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