NOMBRES (THÉORIE DES)Nombres p-adiques

On peut aborder l'étude d'un problème diophantien (cf. équations diophantiennes) en commençant par chercher les solutions modulo p, un nombre premier quelconque : on est alors devant un problème plus facile, car Z/pZ est un corps. Cette méthode ne donne qu'une information insuffisante pour le problème initial ; on la raffine en étudiant les équations modulo p^m pour tous les entiers m ≥ 1. L'anneau Z/p^mZ n'est pas un corps, mais ses propriétés arithmétiques sont beaucoup plus simples que celles de Z : c'est un anneau fini qui a un seul idéal premier (engendré par la classe de p) ; les autres idéaux sont les puissances de l'idéal premier.

Supposons maintenant qu'on connaisse une solution x_m ∈ Z/p^mZ du problème modulo p^m ; pour tout k ≤ m, on en déduit une solution x_k mod p^k au moyen de l'application canonique évidente :

provenant de l'application identique de Z. Ces considérations nous conduisent à introduire les suites (x_m) telles que x_m ∈ Z/p Z pour tout m et x_k = ϕ_km(x_m) pour k ≤ m. L'ensemble Z_p de ces suites est ainsi une partie du produit :et c'est même un sous-anneau pour la structure d'anneau produit (car les ϕ_km sont des homomorphismes d'anneaux) ; on dit que c'est la limite projective des anneaux Z/p^mZ. L'anneau Z_p ainsi défini s'appelle l'anneau des entiers p-adiques ; la méthode d'approche d'un problème diophantien envisagée plus haut consiste à étudier d'abord le problème dans Z_p. Dans cet article, on donne les principales propriétés arithmétiques de cet anneau.

Généralités

Le noyau de l'homomorphisme canonique Z → Z_p est formé des entiers divisibles par toutes les puissances de p ; il est donc réduit à {0}, et l'homomorphisme considéré est injectif et permet d'identifier Z à un sous-anneau de Z_p. La surjection canonique Z → Z/pⁿZ se décompose en l'injection de Z dans Z_p suivie de la projection de Z_p dans le facteur Z/pⁿZ ; on voit ainsi que cette dernière projection est surjective ; son noyau est l'ensemble des entiers p-adiques (x_m) tels que x_n = 0, ce qui donne x_m = 0 pour m ≤ n et x_m ∈ pⁿZ/p^mZ pour m > n ; autrement dit, ce noyau est l'ensemble des entiers p-adiques multiples de pⁿ. On obtient ainsi l'isomorphisme :

pour tout entier n ≥ 1.

Pour n = 1, cela montre que Z_p/pZ_p est un corps, donc que l'idéal pZ_p engendré par p est maximal. Si un entier p-adique x = (x_m) n'appartient pas à pZ_p, chacune de ses composantes x_m est inversible dans le facteur correspondant Z/p^mZ et (x_m^-1) est inverse de x dans Z_p ; ainsi l'idéal maximal pZ_p est exactement l'ensemble des éléments non inversibles de Z_p, et c'est donc le seul idéal maximal : l'anneau Z_p est local et son corps résiduel est Z_p/pZ_p ≃ F_p, corps à p éléments. Les puissances successives de l'idéal maximal forment une suite décroissante (p^mZ_p) d'idéaux dont l'intersection est visiblement {0} ; le plus grand de ces idéaux est p⁰Z_p = Z_p. La multiplication par pⁿ est injective dans Z_p ; il suffit de le vérifier pour n = 1, et px = 0 équivaut à px_m = 0 dans Z/p^mZ pour tout m, ce qui donne :

d'où x_m-1 = 0. L'anneau Z_p s'applique donc bijectivement sur l'idéal pⁿZ_p, et l'ensemble U = Z_p − pZ_p de ses éléments inversibles s'applique bijectivement sur :on voit ainsi que l'ensemble Z_p − {0} est réunion disjointe des pⁿU (n ∈ N). Autrement dit, tout entier p-adique non nul x s'écrit d'une seule manière sous la forme pⁿu avec n ∈ N et u ∈ U entier p-adique inversible ; l'entier naturel n s'appelle la valuation p-adique de x et se note v_p(x). Si x = p^mu et y = pⁿv sont des entiers p-adiques non nuls, avec u ∈ U et v ∈ U, on a :car uv est encore inversible, donc Z_p est un anneau intègre ; on voit en même temps que :et on peut vérifier par ailleurs l'inégalité :ces deux propriétés de la valuation p-adique restent vraies même si x ou y est nul lorsque l'on pose v_p(0) = + ∞, élément abstrait ajouté à N avec les propriétés habituelles : on a n < + ∞ et n + (+ ∞) = + ∞ pour tout n ∈ N.

Considérons un idéal non nul a de Z_p ; si n est la borne inférieure des valuations des éléments de a, on voit sans peine que a est l'idéal engendré par pⁿ. Ainsi les seuls idéaux de Z_p sont (0) et les pⁿZ_p ; en particulier Z_p est un anneau principal et il n'a qu'un seul idéal premier non nul pZ_p : un tel anneau s'appelle un anneau de valuation discrète. La décomposition en facteurs premiers d'un entier p-adique x est de la forme x = pⁿu avec n = _vp(x) et u ∈ U.

Il y a une autre structure intéressante sur l'anneau Z_p. On peut en effet considérer chaque Z/p^mZ comme [...]

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