NOMBRES (THÉORIE DES)Nombres p-adiques
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On peut aborder l'étude d'un problème diophantien (cf. équations diophantiennes) en commençant par chercher les solutions modulo p, un nombre premier quelconque : on est alors devant un problème plus facile, car Z/pZ est un corps. Cette méthode ne donne qu'une information insuffisante pour le problème initial ; on la raffine en étudiant les équations modulo pm pour tous les entiers m ≥ 1. L'anneau Z/pmZ n'est pas un corps, mais ses propriétés arithmétiques sont beaucoup plus simples que celles de Z : c'est un anneau fini qui a un seul idéal premier (engendré par la classe de p) ; les autres idéaux sont les puissances de l'idéal premier.
Supposons maintenant qu'on connaisse une solution xm ∈ Z/pmZ du problème modulo pm ; pour tout k ≤ m, on en déduit une solution xk mod pk au moyen de l'application canonique évidente :


Généralités
Le noyau de l'homomorphisme canonique Z → Zp est formé des entiers divisibles par toutes les puissances de p ; il est donc réduit à {0}, et l'homomorphisme considéré est injectif et permet d'identifier Z à un sous-anneau de Zp. La surjection canonique Z → Z/pnZ se décompose en l'injection de Z dans Zp suivie de la projection de Zp dans le facteur Z/pnZ ; on voit ainsi que cette dernière projection est surjective ; son noyau est l'ensemble des entiers p-adiques (xm) tels que xn = 0, ce qui donne xm = 0 pour m ≤ n et xm ∈ pnZ/pmZ pour m > n ; autrement dit, ce noyau est l'ensemble des entiers p-adiques multiples de pn. On obtient ainsi l'isomorphisme :

Pour n = 1, cela montre que Zp/pZp est un corps, donc que l'idéal pZp engendré par p est maximal. Si un entier p-adique x = (xm) n'appartient pas à pZp, chacune de ses composantes xm est inversible dans le facteur correspondant Z/pmZ et (xm-1) est inverse de x dans Zp ; ainsi l'idéal maximal pZp est exactement l'ensemble des éléments non inversibles de Zp, et c'est donc le seul idéal maximal : l'anneau Zp est local et son corps résiduel est Zp/pZp ≃ Fp, corps à p éléments. Les puissances successives de l'idéal maximal forment une suite décroissante (pmZp) d'idéaux dont l'intersection est visiblement {0} ; le plus grand de ces idéaux est p0Zp = Zp. La multiplication par pn est injective dans Zp ; il suffit de le vérifier pour n = 1, et px = 0 équivaut à pxm = 0 dans Z/pmZ pour tout m, ce qui donne :





Considérons un idéal non nul
Il y a une autre structure intéressante sur l'anneau Zp. On peut en effet considérer chaque Z/pmZ comme [...]
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Écrit par :
- Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot
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Pour citer l’article
Christian HOUZEL, « NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 28 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-theorie-des-nombres-p-adiques/