FONCTIONS ANALYTIQUES Vue d'ensemble
Depuis l'Antiquité, on connaît en substance la série géométrique suivante :
Une des grandes découvertes qui jalonnèrent la formation du calcul infinitésimal au milieu du xviie siècle fut la possibilité de représenter les fonctions « usuelles » (logarithme, exponentielle, fonctions trigonométriques, etc.) par des développements en série analogues. Au xviiie siècle, la plupart des mathématiciens en étaient arrivés à ne plus guère considérer comme dignes d'intérêt que les fonctions dites « analytiques », égales à la somme d'une série convergente du type :
La plupart des fonctions considérées au xviiie siècle étaient implicitement supposées analytiques, et J. L. Lagrange, dans sa Théorie des fonctions analytiques (1797), tente de fonder une théorie formelle de la dérivation, indépendante de la notion d'infiniment petit ou de limite, sur le concept de développement en série entière.
Si, depuis le début du xixe siècle, il a fallu abandonner ce point de vue trop exclusif, et donner droit de cité à des fonctions bien moins « régulières » que les fonctions analytiques, le rôle de ces dernières reste fondamental dans toutes les parties des mathématiques. En fait, le concept d'analyticité s'est même élargi depuis le début du xxe siècle ; la définition d'une série entière :
Toutefois, une étude plus poussée révèle que la possibilité de donner une définition de la notion de « fonction analytique » sur un corps valué complet quelconque K masque en réalité de profondes différences de comportement pour ces fonctions, selon la nature du « corps de base » K considéré. Déjà, entre le cas réel (K = R) et le cas complexe (K = C), il y a un clivage abrupt, la théorie des fonctions analytiques de variables complexes étant incomparablement plus riche et plus simple que celle des fonctions analytiques de variables réelles : pour ne citer qu'un exemple, la seule existence de la dérivée première pour une fonction d'une variable complexe la rend ipso facto analytique. La raison de cette différence doit être cherchée dans la théorie de Cauchy, fondée sur le merveilleux outil que constitue l'intégrale curviligne des fonctions de variable complexe, d'une souplesse et d'une puissance incomparables.
C'est seulement de cette théorie et de ses extensions qu'il est question dans les articles qui suivent. Jusqu'à la fin du xixe siècle, on ne s'est guère occupé que de la théorie des fonctions d'une seule variable complexe, qui offrait aux recherches un champ aussi vaste que riche (d'ailleurs loin d'être épuisé même à l'époque actuelle) : en dehors de ses innombrables applications dans toute l'analyse, la théorie de Cauchy rejoignait la géométrie différentielle par ses liens avec la représentation conforme et les surfaces minimales, la théorie du potentiel (en mathématiques et en physique) par ses étroites relations avec les fonctions harmoniques de deux variables, et (ce qui est sans doute le plus inattendu) l'arithmétique supérieure avec la théorie analytique des nombres (séries de Dirichlet, méthode de Hardy-Littlewood).[...]
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Écrit par
- Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences
Classification
Pour citer cet article
Jean DIEUDONNÉ. FONCTIONS ANALYTIQUES - Vue d'ensemble [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
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FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)
- Écrit par Bernard PIRE
- 181 mots
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans l'histoire...
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PRIX ABEL 2016
- Écrit par Yves GAUTIER
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Pour ce qui est des formes modulaires, on peut dire très schématiquement que ce sont des fonctions analytiques qui respectent certaines conditions exprimées par certaines équations fonctionnelles – un exemple étant f[(az + b)/(cz + d)] = (cz + d)2 f(z) pour tout z complexe ; a, b, c et d étant... -
ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
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...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis... -
ANNEAUX & ALGÈBRES
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
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...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ... -
ASYMPTOTIQUES CALCULS
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...) = etReh(x+iy), appelé le relief de eth(z). Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont... - Afficher les 20 références
