NOMBRES (THÉORIE DES)Nombres p-adiques

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On connaît beaucoup d'autres anneaux de valuation discrète que les anneaux Z_p ; nous pouvons citer l'anneau k[[T]] des séries formelles à une indéterminée à coefficients dans un corps k, ou l'anneau local d'un point régulier sur une courbe algébrique (ou sur une courbe analytique complexe ; cf. géométrie algébrique). Si A est un anneau de valuation discrète de corps des fractions K et si πA est l'unique idéal premier non nul de A, les idéaux de A sont 0 et les πⁿA (n ∈ N) ; tout élément x ≠ 0 de K s'écrit d'une seule manière sous la forme x = πⁿu où n ∈ Z et où u est un élément inversible de A ; la valuation de x est l'entier v(x) = n et l'application v : K* → Z est un homomorphisme surjectif de groupes vérifiant l'inégalité v(x + y) ≥ inf (v(x), v(y)). Inversement, la donnée d'une valuation discrète v : K* → Z détermine un sous-anneau :

où l'on a posé v(0) = + ∞, qui est un anneau de valuation discrète et dont l'idéal maximal est l'ensemble des éléments de valuation > 0. La valuation définit une valeur absolue ultramétrique :où a est un nombre réel fixé appartenant à l'intervalle ]0, 1] ; on a :et |x| ne s'annule que pour x = 0. Dans le cas où K est complet pour la topologie définie par cette valeur absolue, il possède des propriétés très semblables à celles de Q_p ; pour qu'il soit localement compact, il faut et il suffit qu'il soit complet et que le corps résiduel k = A/πA soit fini (cf. théorie des nombres - Nombres algébriques). Si A est un anneau de valuation discrète complet et si L est une extension finie de son corps des fractions K, on démontre que la fermeture intégrale B de A dans L est encore un anneau de valuation discrète complet et que c'est un A-module libre de rang [L :K] ; désignons par π un générateur de l'idéal maximal de A (une « uniformisante ») et par w la valuation définie par B ; l'entier e = w(π) s'appelle l'indice de ramification de L sur K. La valeur absolue de K se prolonge d'une manière unique à L. Considérons un anneau de valuation discrète complet A ; supposons que son corps des fractions K soit de caractéristique 0 et son corps résiduel k de caractéristique p > 0. Alors, l'injection canonique de Z dans A (resp. de Q dans K) se prolonge par continuité en :l'entier e = v(p), où v est la valuation définie par A, s'appelle l'indice de ramification absolue de A. On démontre (I. S. Cohen) que, pour tout corps parfait k de caractéristique p, il existe un anneau de valuation discrète complet A absolument non ramifié (c'est-à-dire d'indice de ramification absolue égal à 1, ce qui signifie que l'idéal maximal de A est p A) dont le corps résiduel est k ; cet anneau est unique à isomorphisme (unique) près, et sa construction se fait au moyen des vecteurs de Witt ; ainsi Z_p est l'anneau de valuation discrète complet absolument non ramifié de corps résiduel F_p.

Si A est un anneau de valuation discrète complet de caractéristique un nombre premier p, alors son corps résiduel k est aussi de caractéristique p, et on démontre qu'il admet dans A un système de représentants qui est un sous-corps (les représentants multiplicatifs sont également additifs ; cf. chap. 3) ; on en déduit, en utilisant des développements de type hensélien par rapport aux puissances d'une uniformisante, que A est isomorphe à l'anneau des séries formelles k[[T]]. Il en est de même si k est de caractéristique 0.

L'analyse p-adique se généralise en remplaçant Q_p par un corps valué complet ultramétrique quelconque. Les résultats et les méthodes sont les mêmes (sauf ceux qui font intervenir les propriétés arithmétiques particulières à Q_p).

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