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NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres p-adiques

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On connaît beaucoup d'autres anneaux de valuation discrète que les anneaux Zp ; nous pouvons citer l'anneau k[[T]] des séries formelles à une indéterminée à coefficients dans un corps k, ou l'anneau local d'un point régulier sur une courbe algébrique (ou sur une courbe analytique complexe ; cf. géométrie algébrique). Si A est un anneau de valuation discrète de corps des fractions K et si πA est l'unique idéal premier non nul de A, les idéaux de A sont 0 et les πnA (n ∈ N) ; tout élément x ≠ 0 de K s'écrit d'une seule manière sous la forme x = πnu où n ∈ Z et où u est un élément inversible de A ; la valuation de x est l'entier v(x) = n et l'application v : K* → Z est un homomorphisme surjectif de groupes vérifiant l'inégalité v(x + y) ≥ inf (v(x), v(y)). Inversement, la donnée d'une valuation discrète v : K* → Z détermine un sous-anneau :

où l'on a posé v(0) = + ∞, qui est un anneau de valuation discrète et dont l'idéal maximal est l'ensemble des éléments de valuation > 0. La valuation définit une valeur absolue ultramétrique :
où a est un nombre réel fixé appartenant à l'intervalle ]0, 1] ; on a :
et |x| ne s'annule que pour x = 0. Dans le cas où K est complet pour la topologie définie par cette valeur absolue, il possède des propriétés très semblables à celles de Qp ; pour qu'il soit localement compact, il faut et il suffit qu'il soit complet et que le corps résiduel k = A/πA soit fini (cf. théorie des nombres - Nombres algébriques). Si A est un anneau de valuation discrète complet et si L est une extension finie de son corps des fractions K, on démontre que la fermeture intégrale B de A dans L est encore un anneau de valuation discrète complet et que c'est un A-module libre de rang [L :K] ; désignons par π un générateur de l'idéal maximal de A (une « uniformisante ») et par w la valuation définie par B ; l'entier e = w(π) s'appelle l'indice de ramification de L sur K. La valeur absolue de K se prolonge d'une manière unique à L. Considérons un anneau de valuation discrète complet A ; supposons que son corps des fractions K soit de caractéristique 0 et son corps résiduel k de caractéristique p > 0. Alors, l'injection canonique de Z dans A (resp. de Q dans K) se prolonge par continuité en :
l'entier e = v(p), où v est la valuation définie par A, s'appelle l'indice de ramification absolue de A. On démontre (I. S. Cohen) que, pour tout corps parfait k de caractéristique p, il existe un anneau de valuation discrète complet A absolument non ramifié (c'est-à-dire d'indice de ramification absolue égal à 1, ce qui signifie que l'idéal maximal de A est p A) dont le corps résiduel est k ; cet anneau est unique à isomorphisme (unique) près, et sa construction se fait au moyen des vecteurs de Witt ; ainsi Zp est l'anneau de valuation discrète complet absolument non ramifié de corps résiduel Fp.

Si A est un anneau de valuation discrète complet de caractéristique un nombre premier p, alors son corps résiduel k est aussi de caractéristique p, et on démontre qu'il admet dans A un système de représentants qui est un sous-corps (les représentants multiplicatifs sont également additifs ; cf. chap. 3) ; on en déduit, en utilisant des développements de type hensélien par rapport aux puissances d'une uniformisante, que A est isomorphe à l'anneau des séries formelles k[[T]]. Il en est de même si k est de caractéristique 0.

L'analyse p-adique se généralise en remplaçant Qp par un corps valué complet ultramétrique quelconque. Les résultats et les méthodes sont les mêmes (sauf ceux qui font intervenir les propriétés arithmétiques[...]

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Écrit par

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Classification

Pour citer cet article

Christian HOUZEL. NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • PRIX ABEL 2016

    • Écrit par Yves GAUTIER
    • 1 168 mots
    • 2 médias

    Le 15 mars 2016, l’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 au mathématicien anglais Andrew John Wiles « pour avoir démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables,...

  • ARITHMÉTIQUES (Diophante)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 188 mots

    Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques...

  • ARTIN EMIL (1898-1962)

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 1 319 mots
    La part la plus importante de l'œuvre d'Artin concerne l'étude des corps de nombres algébriques etl'application des résultats obtenus à la théorie des nombres. Pour tout corps de nombres algébriques K, on peut considérer une fonction ζk(s), appelée la fonction zêta de Dedekind, qui...

  • BAKER ALAN (1939-2018)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 338 mots

    Alan Baker, mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des nombres, est né le 19 août 1939 à Londres. Il a fait ses études supérieures à l'University College de Londres puis au Trinity College de Cambridge où il soutient sa thèse de doctorat en...

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Voir aussi

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