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NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres p-adiques

Structure du groupe multiplicatif Q*p

On sait que tout élément non nul de Qp s'écrit d'une seule manière sous la forme pnu avec n ∈ Z et u ∈ U, groupe des éléments inversibles de Zp ; cela donne immédiatement un isomorphisme Qp* ≃ Z × U. Il reste à étudier la structure du groupe U ; on définit une filtration décroissante (Un) de U en posant pour tout n > 0 :

ainsi Un est le noyau de l'homomorphisme canonique de U dans le groupe des éléments inversibles de Z/pnZ. Il est clair que U/U1 ≃ F*p, groupe cyclique d'ordre p − 1 ; pour n ≥ 1, une bijection x ↦ 1 + pnx de Zp sur Un applique pZp sur Un+1 et définit un isomorphisme de groupes :
en vertu de l'identité :
ainsi Un/Un+1 est cyclique d'ordre p pour n ≥ 1.

De ces considérations on peut déduire qu'il existe un sous-groupe unique V de U isomorphe à Fp* et que U est isomorphe au produit V × U1 ; le sous-groupe V est l'ensemble des entiers p-adiques x tels que xp-1 = 1, et V ∪ {0} est un système de représentants de Fp dans Zp qui est stable par multiplication, c'est un système de représentants multiplicatifs (cf. chap. 1). Pour obtenir ces résultats, on considère U et U1 comme limites projectives des suites de groupes (U/Un) et (U1/Un) respectivement, et on est ramené à prouver l'existence d'un unique sous-groupe Vn de U/Un isomorphe à Fp et tel que :

comme U1/Un est d'ordre pn-1 et que :
est d'ordre p − 1 premier à pn-1, on peut démontrer que U/Un est produit de U1/Un par le sous-groupe des racines (p − 1)-ièmes de 1 en utilisant l'identité de Bezout. Chemin faisant, nous avons démontré que le corps des nombres p-adiques Qp contient les racines (p − 1)-ièmes de 1.

Il faut enfin élucider la structure du groupe U1. Nous allons voir que U1 est isomorphe au groupe additif Zp si p est différent de 2, et à {± 1} × Z2 si p = 2. Pour p ≠ 2, on choisit un élément a de U1 qui n'appartient pas à U2 et on considère l'homomorphisme x ↦ ax de Z dans U1 ; on  a  a = 1 + pu  avec  u ∈ U,  donc ax = 1 + xpu + p2t (t entier p-adique) par le développement du binôme, et, pour x premier à p, cela montre que ax est encore un élément de U1 qui n'est pas dans U2 ; au contraire, pour x = ph, on trouve que ax est un élément de Uh+1 qui n'est pas dans Uh+2, en remarquant que pour tout n la puissance p-ième d'un élément de Un − Un+1 appartient à Un+1 − Un+2. Ces résultats permettent de voir que l'image réciproque de Un+1 dans Z est exactement pnZ ; par conséquent, x ↦ ax définit un homomorphisme injectif de Z/pnZ dans U1/Un+1, et cet homomorphisme est même un isomorphisme, car les deux groupes ont le même nombre d'éléments. En passant à la limite projective pour n → ∞, on obtient l'isomorphisme cherché Zp →∼ U1 ; on notera encore ax l'image d'un entier p-adique x par cet isomorphisme. Dans le cas où p = 2, on observe d'abord que :

et on définit un isomorphisme de Z2 sur U2 à partir de l'homomorphisme x ↦ ax de Z dans U2 construit à l'aide d'un élément a de U2 qui n'appartient pas à U3 (ainsi a est congru à 5 mod 8). En résumé, on a trouvé que le groupe multiplicatif Qp* est isomorphe à :
si p ≠ 2 et à :
si p = 2.

Nous sommes maintenant en mesure de déterminer quels sont les carrés dans Qp. Pour p ≠ 2, on a :

car, 2 étant inversible dans Zp, on a 2Zp = Zp ; on retrouve le fait qu'un élément inversible de Zp est un carré si et seulement si son image dans Fp est un carré. Le groupe quotient Qp/Qp*2 est isomorphe à :
c'est un groupe à 4 éléments qui admet pour système de représentants dans Qp* l'ensemble {1, p, u, up} où u[...]

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Écrit par

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Classification

Pour citer cet article

Christian HOUZEL. NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • PRIX ABEL 2016

    • Écrit par Yves GAUTIER
    • 1 168 mots
    • 2 médias

    Le 15 mars 2016, l’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 au mathématicien anglais Andrew John Wiles « pour avoir démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables,...

  • ARITHMÉTIQUES (Diophante)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 188 mots

    Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques...

  • ARTIN EMIL (1898-1962)

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 1 319 mots
    La part la plus importante de l'œuvre d'Artin concerne l'étude des corps de nombres algébriques etl'application des résultats obtenus à la théorie des nombres. Pour tout corps de nombres algébriques K, on peut considérer une fonction ζk(s), appelée la fonction zêta de Dedekind, qui...

  • BAKER ALAN (1939-2018)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 338 mots

    Alan Baker, mathématicien britannique, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des nombres, est né le 19 août 1939 à Londres. Il a fait ses études supérieures à l'University College de Londres puis au Trinity College de Cambridge où il soutient sa thèse de doctorat en...

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Voir aussi

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