CONTINU HYPOTHÈSE DU
L'hypothèse du continu est la plus ancienne et l'une des plus fondamentales des questions ouvertes en théorie des ensembles. Les résultats de W. Hugh Woodin constituent une avancée décisive : sans clore la question, ils renouvellent profondément le cadre conceptuel et, pour la première fois, offrent une perspective réaliste de dépasser les limitations établies par Gödel et Cohen et de trancher le statut de cette hypothèse, en l'occurrence dans le sens de sa fausseté.
Une affaire terminée ?
Cantor a fondé la théorie des ensembles à la fin du xixe siècle en montrant qu'il existe plus de nombres réels que d'entiers, et donc des infinis de tailles différentes. Le problème du continu est la question : toute partie infinie de ℝ est-elle en bijection avec ℕ ou ℝ ?
Même si l'intuition suggère que ℕ est beaucoup plus petit que ℝ, il est difficile de construire un ensemble de taille intermédiaire entre celles de ℕ et ℝ : ainsi, les nombres rationnels sont en bijection avec ℕ, et les nombres transcendants (qui ne sont solutions d'aucune équation à coefficients entiers) avec ℝ. Formulée vers 1890 par Cantor, qui lui consacra en vain la fin de sa vie scientifique, l'hypothèse du continu (HC) est la conjecture que le problème du continu a une réponse positive.
Premier de la célèbre liste des vingt-trois problèmes de Hilbert en 1900, celui du continu a suscité de multiples recherches. Une fois réuni un consensus sur le système d'axiomes de théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel ZF, ou ZFC lorsque l'axiome du choix est inclus, comme base axiomatique, la première question est de savoir si HC, ou sa négation ¬HC, est prouvable à partir de ZFC. Les réponses constituent deux résultats majeurs :
Théorème de Gödel (1938) : Si ZFC est non contradictoire, alors ¬HC n'est pas prouvable à partir de ZFC.
Théorème de Cohen (1963) : Si ZFC est non contradictoire, alors HC n'est pas prouvable à partir de ZFC.
Il serait toutefois erroné de retenir que le problème du continu ne peut être résolu. La conclusion n'est pas que l'hypothèse du continu n'est ni vraie, ni fausse, mais, simplement, que le système ZFC n'épuise pas les propriétés des ensembles, et qu'il s'agit de le compléter.
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Écrit par
- Patrick DEHORNOY : professeur à l'université de Caen et à l'Institut universitaire de France
Classification
Pour citer cet article
Patrick DEHORNOY. CONTINU HYPOTHÈSE DU [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
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CANTOR GEORG (1845-1918)
- Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
- 2 886 mots
- 1 média
...contraire à l’intuition qu’il sollicite l’avis de Dedekind : « Je le vois, mais je ne le crois pas », lui écrit-il. On ne pouvait imaginer en effet que la notion si fondamentale de dimension d’un espace continu (égale à 2 pour le carré, à 1 pour l’intervalle, à 3 pour un cube, etc.) n’intervienne pas dans... -
COHEN PAUL JOSEPH (1934-2007)
- Écrit par Gabriel SABBAGH
- 154 mots
Mathématicien et logicien américain, Paul Joseph Cohen est né le 2 avril 1934 à Long Branch (New Jersey) et mort le 23 mars 2007 à Stanford (Californie). En 1963, Cohen a découvert une nouvelle construction de modèles, appelée forcing, qui joue désormais un rôle fondamental dans la théorie des...
-
CONTINU & DISCRET
- Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
- 7 672 mots
...associé à l'objet de l'analyse réelle. On se contentera ici de mentionner le théorème de Lowenheim-Skolem et le résultat de Cohen au sujet de l'hypothèse du continu : ces travaux, parmi les plus célèbres du domaine en question, permettent de bien voir comment se pose le problème du continu dans le cadre de... -
GÖDEL KURT (1906-1978)
- Écrit par Daniel ANDLER
- 2 292 mots
...premier résultat de non-contradiction relative. Si la théorie des ensembles est cohérente, cette théorie enrichie de l'axiome du choix et de l'hypothèse généralisée du continu est cohérente. La notion d'univers constructible employée par Gödel dans ce travail est devenue l'un... - Afficher les 7 références
Voir aussi
- LOGIQUE MATHÉMATIQUE
- BAIRE THÉORÈME DE
- CHOIX AXIOME DU
- CARDINAL, mathématiques
- PREUVE, mathématiques
- ENSEMBLES THÉORIE AXIOMATIQUE DES
- WOODIN W. HUGH (1955- )
- WOODIN THÉORÈME DE
- OMÉGA-LOGIQUE
- OMÉGA-CONJECTURE
- ZFC AXIOMES DE
- ZFC MODÈLES DE
- ZERMELO-FRAENKEL AXIOMES DE
- COMPLÉTUDE, mathématiques
- ENTIER NATUREL
- FORCING, mathématiques
- INDÉCIDABLE, mathématiques
- NON-CONTRADICTION
