CONTINU HYPOTHÈSE DU

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Portée de ces résultats

Au-delà de la prouesse technique, les travaux de Woodin semblent constituer une avancée majeure car le cadre conceptuel de la Ω-logique restaure l'unité et l'intelligibilité globale de la théorie des ensembles, comme en témoignent l'existence de multiples formes de la Ω-conjecture, et plusieurs résultats reliant la Ω-logique aux grands cardinaux.

En ce qui concerne l'hypothèse du continu, il convient d'être prudent. Même si la Ω-conjecture est établie un jour, l'approche de Woodin repose sur un choix, à savoir celui de l'invariance par forcing comme critère de départ : ce choix reste discutable, et d'autres approches sont possibles. En revanche, le corpus de théorèmes établis par Woodin constitue à ce jour la description la plus élaborée de l'infini non dénombrable, allant bien au-delà de l'exploration des conséquences formelles d'axiomes plus ou moins arbitraires. Il se trouve que cette description mène à la négation de l'hypothèse du continu, et qu'il n'existe aucune description comparable menant à cette hypothèse. Surtout, il n'existe aucun théorème étayant l'opinion parfois émise que l'hypothèse du continu est un énoncé vague et dénué de sens. À tout le moins, ce que démontre Woodin est que l'hypothèse du continu a un sens précis – et que c'est une question difficile.

1 2 3 4 5

pour nos abonnés,
l’article se compose de 4 pages




Écrit par :

  • : professeur à l'université de Caen et à l'Institut universitaire de France

Classification


Autres références

«  CONTINU HYPOTHÈSE DU  » est également traité dans :

CANTOR GEORG (1845-1918)

  • Écrit par 
  • Hourya BENIS-SINACEUR
  •  • 2 887 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « L’invention du transfini »  : […] Dans une suite de mémoires publiés de 1878 et à 1891, Cantor généralise à l’infiniment grand la notion de nombre entier fini et construit une arithmétique dont les règles spécifiques diffèrent partiellement de celles des nombres finis. Le premier acte en est l’affirmation fondamentale qu’il y a « après le fini, un transfini […], c’est-à-dire une échelle illimitée de modes déterminés qui par nature […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/georg-cantor/#i_32233

COHEN PAUL JOSEPH (1934-2007)

  • Écrit par 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 154 mots

Mathématicien et logicien américain, Paul Joseph Cohen est né le 2 avril 1934 à Long Branch (New Jersey) et mort le 23 mars 2007 à Stanford (Californie). En 1963, Cohen a découvert une nouvelle construction de modèles, appelée forcing, qui joue désormais un rôle fondamental dans la théorie des ensembles et dans la théorie des modèles ; et il a construit des modèles de la théorie des ensembles (sup […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/paul-joseph-cohen/#i_32233

CONTINU & DISCRET

  • Écrit par 
  • Jean-Michel SALANSKIS
  •  • 7 679 mots

Dans le chapitre « Continu et théorie des fondements »  : […] Du double aspect du mystère du continu et du discret, la logique et la théorie des ensembles, en première approche, ne retiennent que celui qui est lié au problème de l'infini en général : le problème du continu y est envisagé comme problème du « nombre transfini » associé à l'objet de l'analyse réelle. On se contentera ici de mentionner le théorème de Lowenheim-Skolem et le résultat de Cohen au s […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/continu-et-discret/#i_32233

GÖDEL KURT (1906-1978)

  • Écrit par 
  • Daniel ANDLER
  •  • 2 293 mots

Dans le chapitre « L'œuvre »  : […] Les travaux de Gödel ont été exposés et situés dans leur contexte mathématique et épistémologique (cf. logique mathématique , hilbert , fondements des mathématiques et problèmes de hilbert ). Aussi nous contenterons-nous ici d'un bref aperçu. Le premier grand résultat est celui de la complétud […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/kurt-godel/#i_32233

HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par 
  • Rüdiger INHETVEEN, 
  • Jean-Michel KANTOR, 
  • Christian THIEL
  •  • 14 855 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Problème 1 : hypothèse du continu »  : […] Cantor ayant démontré que le cardinal de l'ensemble des réels R excède celui de l'ensemble des entiers N , la question se pose de savoir si entre ℵ 0 (cardinal de N ) et 2 0 (cardinal de R , dont on voit facilement qu'il égale celui de l'ensemble des parties de N ) il existe un cardinal intermédiaire. Autrement dit, est-il possible qu'un sous-ensemble infini de R ne […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/david-hilbert/#i_32233

INFINI, mathématiques

  • Écrit par 
  • Jean Toussaint DESANTI
  •  • 10 364 mots

Dans le chapitre « La puissance d'un ensemble »  : […] La définition du concept de puissance n'offre pas de difficultés pour qui dispose du concept d'application biunivoque. On dira que deux ensembles (et, à l'origine, Cantor raisonne dans le domaine de l'analyse, c'est-à-dire sur des ensembles de points) ont même puissance s'il est possible de définir, des éléments de l'un vers les éléments de l'autre, une application biunivoque. Le concept de puiss […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/infini-mathematiques/#i_32233

RÉELS NOMBRES

  • Écrit par 
  • Jean DHOMBRES
  •  • 15 297 mots

Dans le chapitre « Rôle des nombres réels »  : […] Dans la vie quotidienne, l'ensemble R des nombres réels est le modèle auquel se rapporte toute mesure : une mesure par rapport à une unité de mesure choisie se traduit par un nombre réel. Du point de vue mathématique, l'intérêt de l'ensemble des nombres réels est sa richesse, par profusion de structures imbriquées. Depuis la fin du xix e  siècle, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-reels/#i_32233

Pour citer l’article

Patrick DEHORNOY, « CONTINU HYPOTHÈSE DU », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 18 juin 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/hypothese-du-continu/