CONTINU HYPOTHÈSE DU
Portée de ces résultats
Au-delà de la prouesse technique, les travaux de Woodin semblent constituer une avancée majeure car le cadre conceptuel de la Ω-logique restaure l'unité et l'intelligibilité globale de la théorie des ensembles, comme en témoignent l'existence de multiples formes de la Ω-conjecture, et plusieurs résultats reliant la Ω-logique aux grands cardinaux.
En ce qui concerne l'hypothèse du continu, il convient d'être prudent. Même si la Ω-conjecture est établie un jour, l'approche de Woodin repose sur un choix, à savoir celui de l'invariance par forcing comme critère de départ : ce choix reste discutable, et d'autres approches sont possibles. En revanche, le corpus de théorèmes établis par Woodin constitue à ce jour la description la plus élaborée de l'infini non dénombrable, allant bien au-delà de l'exploration des conséquences formelles d'axiomes plus ou moins arbitraires. Il se trouve que cette description mène à la négation de l'hypothèse du continu, et qu'il n'existe aucune description comparable menant à cette hypothèse. Surtout, il n'existe aucun théorème étayant l'opinion parfois émise que l'hypothèse du continu est un énoncé vague et dénué de sens. À tout le moins, ce que démontre Woodin est que l'hypothèse du continu a un sens précis – et que c'est une question difficile.
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Écrit par
- Patrick DEHORNOY : professeur à l'université de Caen et à l'Institut universitaire de France
. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
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CANTOR GEORG (1845-1918)
- Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
- 2 886 mots
- 1 média
...contraire à l’intuition qu’il sollicite l’avis de Dedekind : « Je le vois, mais je ne le crois pas », lui écrit-il. On ne pouvait imaginer en effet que la notion si fondamentale de dimension d’un espace continu (égale à 2 pour le carré, à 1 pour l’intervalle, à 3 pour un cube, etc.) n’intervienne pas dans... -
COHEN PAUL JOSEPH (1934-2007)
- Écrit par Gabriel SABBAGH
- 154 mots
Mathématicien et logicien américain, Paul Joseph Cohen est né le 2 avril 1934 à Long Branch (New Jersey) et mort le 23 mars 2007 à Stanford (Californie). En 1963, Cohen a découvert une nouvelle construction de modèles, appelée forcing, qui joue désormais un rôle fondamental dans la théorie des...
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CONTINU & DISCRET
- Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
- 7 672 mots
...associé à l'objet de l'analyse réelle. On se contentera ici de mentionner le théorème de Lowenheim-Skolem et le résultat de Cohen au sujet de l'hypothèse du continu : ces travaux, parmi les plus célèbres du domaine en question, permettent de bien voir comment se pose le problème du continu dans le cadre de... -
GÖDEL KURT (1906-1978)
- Écrit par Daniel ANDLER
- 2 292 mots
...premier résultat de non-contradiction relative. Si la théorie des ensembles est cohérente, cette théorie enrichie de l'axiome du choix et de l'hypothèse généralisée du continu est cohérente. La notion d'univers constructible employée par Gödel dans ce travail est devenue l'un... - Afficher les 7 références
Voir aussi
- LOGIQUE MATHÉMATIQUE
- BAIRE THÉORÈME DE
- CHOIX AXIOME DU
- CARDINAL, mathématiques
- PREUVE, mathématiques
- ENSEMBLES THÉORIE AXIOMATIQUE DES
- WOODIN W. HUGH (1955- )
- WOODIN THÉORÈME DE
- OMÉGA-LOGIQUE
- OMÉGA-CONJECTURE
- ZFC AXIOMES DE
- ZFC MODÈLES DE
- ZERMELO-FRAENKEL AXIOMES DE
- COMPLÉTUDE, mathématiques
- ENTIER NATUREL
- FORCING, mathématiques
- INDÉCIDABLE, mathématiques
- NON-CONTRADICTION
