CONTINU HYPOTHÈSE DU
Modèles et forcing
Quels axiomes additionnels choisir ? Ajouter HC ou ¬HC ne saurait être une réponse, et la première tâche est de décrire le critère retenu par Woodin. Pour ce faire, on partira des notions de modèle de ZFC et de forcing.
Comme les axiomes de ZFC ne portent que sur la relation d'appartenance, on peut considérer des structures abstraites (M, E), appelées modèles de ZFC, où E est une relation binaire sur M satisfaisant aux axiomes de ZFC. Par hypothèse, la structure (V, ∈) constituée des vrais ensembles et de la vraie appartenance est un modèle de ZFC.
C'est ce cadre conceptuel qui permet d'établir les théorèmes de Gödel et de Cohen. Partant d'un modèle (M, E) de ZFC, on en construit, avec Gödel, un sous-modèle où HC est vraie, et, avec Cohen, une extension où HC est fausse.
La méthode de Cohen consiste à ajouter à M des ensembles contrôlés par un ensemble ordonné de M, dit de forcing. Celui-ci introduit une variabilité essentielle. Étant donné un modèle (M, E) et un énoncé ϕ tel que ni ϕ, ni ¬ϕ ne soit prouvable à partir de ZFC, il est fréquent qu'il existe deux forcings P1 et P2 définissant l'un une extension satisfaisant ϕ, et l'autre une extension satisfaisant ¬ϕ. Les statuts de ϕ et de ¬ϕ sont alors symétriques, et privilégier l'un ou l'autre semble difficile. C'est en particulier ce qui se produit pour HC.
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Écrit par
- Patrick DEHORNOY : professeur à l'université de Caen et à l'Institut universitaire de France
Classification
Pour citer cet article
Patrick DEHORNOY. CONTINU HYPOTHÈSE DU [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
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CANTOR GEORG (1845-1918)
- Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
- 2 886 mots
- 1 média
...contraire à l’intuition qu’il sollicite l’avis de Dedekind : « Je le vois, mais je ne le crois pas », lui écrit-il. On ne pouvait imaginer en effet que la notion si fondamentale de dimension d’un espace continu (égale à 2 pour le carré, à 1 pour l’intervalle, à 3 pour un cube, etc.) n’intervienne pas dans... -
COHEN PAUL JOSEPH (1934-2007)
- Écrit par Gabriel SABBAGH
- 154 mots
Mathématicien et logicien américain, Paul Joseph Cohen est né le 2 avril 1934 à Long Branch (New Jersey) et mort le 23 mars 2007 à Stanford (Californie). En 1963, Cohen a découvert une nouvelle construction de modèles, appelée forcing, qui joue désormais un rôle fondamental dans la théorie des...
-
CONTINU & DISCRET
- Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
- 7 672 mots
...associé à l'objet de l'analyse réelle. On se contentera ici de mentionner le théorème de Lowenheim-Skolem et le résultat de Cohen au sujet de l'hypothèse du continu : ces travaux, parmi les plus célèbres du domaine en question, permettent de bien voir comment se pose le problème du continu dans le cadre de... -
GÖDEL KURT (1906-1978)
- Écrit par Daniel ANDLER
- 2 292 mots
...premier résultat de non-contradiction relative. Si la théorie des ensembles est cohérente, cette théorie enrichie de l'axiome du choix et de l'hypothèse généralisée du continu est cohérente. La notion d'univers constructible employée par Gödel dans ce travail est devenue l'un... - Afficher les 7 références
Voir aussi
- LOGIQUE MATHÉMATIQUE
- BAIRE THÉORÈME DE
- CHOIX AXIOME DU
- CARDINAL, mathématiques
- PREUVE, mathématiques
- ENSEMBLES THÉORIE AXIOMATIQUE DES
- WOODIN W. HUGH (1955- )
- WOODIN THÉORÈME DE
- OMÉGA-LOGIQUE
- OMÉGA-CONJECTURE
- ZFC AXIOMES DE
- ZFC MODÈLES DE
- ZERMELO-FRAENKEL AXIOMES DE
- COMPLÉTUDE, mathématiques
- ENTIER NATUREL
- FORCING, mathématiques
- INDÉCIDABLE, mathématiques
- NON-CONTRADICTION
