CONTINU HYPOTHÈSE DU

La Ω-logique de Woodin

Abordée depuis 1980, la recherche de solutions pour le fragment H₂ est beaucoup plus ardue. Plusieurs candidats au titre de solution ont été isolés à partir des axiomes de forcing, qui sont des extensions du théorème de Baire (un sous-ensemble de ℝ est dit dense si son complémentaire ne contient aucun intervalle ouvert ; le théorème de Baire affirme qu'une intersection d'ouverts denses indexés par les nombres entiers naturels n'est jamais vide). Vers 1995, Woodin a proposé un tel candidat, noté ici MMW, comme « axiome de Martin maximal de Woodin ».

On ne sait pas encore si ZFC+MMW est une solution pour H₂, mais la partie manquante s'exprime simplement dans le contexte de la Ω-logique, nouvelle logique introduite en 1999 par Woodin dont le but est, en quelque sorte, de voir net malgré le flou introduit par le forcing.

Une logique formelle met en jeu une notion de prouvabilité et une notion de validité. En Ω-logique, les preuves sont des sous-ensembles particuliers de ℝ, dits universellement Baire, et non, comme en logique usuelle, des suites d'énoncés obéissant à des règles syntaxiques. Le principe reste qu'une Ω-preuve est un certificat garantissant qu'un énoncé a une certaine propriété. Ici, on dit qu'un ensemble universellement Baire A est une Ω-preuve pour ϕ si ϕ est vrai dans tous les modèles dénombrables (M, E) tels que A reste universellement Baire dans toute extension par forcing de (M, E). Si ϕ est prouvable en logique usuelle, alors ϕ est Ω-prouvable, mais la réciproque est fausse.

La validité en Ω-logique est définie en référence au modèle (V, ∈) des vrais ensembles : un énoncé est dit Ω-valide s'il est vrai dans toute extension par forcing de (V, ∈).

La Ω-logique est cohérente : tout énoncé Ω-prouvable est Ω-valide. En revanche, sa complétude, c'est-à-dire la question de savoir si tout énoncé Ω-valide est Ω-prouvable, reste pour le moment une conjecture, simplement appelée la Ω-conjecture. Woodin donne plusieurs arguments étayant la Ω-conjecture. Il montre en particulier qu'elle équivaut à la possibilité de construire un modèle canonique pour chaque grand cardinal. À ce jour, de tels modèles existent pour de nombreux grands cardinaux, et aucun contre-exemple n'est connu.

Woodin montre que, si la Ω-conjecture est vraie, alors ZFC+A est une solution pour une structure H si et seulement si A est un axiome Ω-complet pour H, au sens où toute propriété de H est soit Ω-prouvable, soit Ω-réfutable à partir de A. Par ailleurs, il établit que MMW est un axiome Ω-complet pour H₂, d'où il résulte que, si la Ω-conjecture est vraie, ZFC+MMW est une solution pour H₂.