CONTINU & DISCRET

Le mot continu désigne en général ce qui est d'un seul tenant, ce qui se module avec tous les degrés intermédiaires souhaitables (ainsi les flux liquides nous semblent continus, l'espace et le temps nous paraissent devoir l'être) ; de l'autre côté, relève du discret ce qui éclate, se résout en individus isolés, ce qui est séparé d'avec soi-même, comme l'indique l'étymologie latine (ainsi les bornes kilométriques le long des routes, les mots successifs dans les phrases, ou les lettres dans les mots sont les unités d'ensembles ou de séries discrètes). L'opposition de l'un avec l'autre fut pensée depuis l'origine grecque, comme en témoignent notamment les raisonnements d'allure paradoxale attribués à Zénon d'Élée. Si les deux maîtres mots furent de la sorte sollicités de maintes façons par le discours philosophique, le discours formel et le discours scientifique au moins, la confrontation du continu avec le discret est plus directement suscitée, d'après ce que nous estimons, par le langage théorique contemporain ; ce langage, inspiré par la pensée logico-mathématique plus ou moins récente, permet une approche plus claire de chacun des termes considérés, ainsi que de la nature de leur opposition.

Nous nous proposons donc de présenter les problèmes du continu et du discret à partir de l'évaluation logico-mathématique « moderne » de ceux-ci. Nous évoquerons ensuite une démarche philosophique célèbre qui fait jouer un rôle fondamental à l'opposition du continu et du discret : celle du criticisme kantien, prolongée au xx^e siècle par la phénoménologie et le structuralisme. Nous donnerons finalement une idée des dispositifs multiples qui dans les théories scientifiques de ce siècle tirent parti de la tension entre le continu et le discret, confirmant ou contestant les conceptions épistémologiques ou ontologiques induites par le kantisme à son sujet.

La première étape de ce programme, celle qui concerne le domaine logico-mathématique, se divise elle-même en trois moments : on commencera par thématiser l'opposition dans le vocabulaire des mathématiques élémentaires, c'est-à-dire par signaler les aspects minimaux de l'opposition, ceux qui sont discernés dans une culture mathématique aujourd'hui très répandue ; puis on signalera les problèmes associés à ladite opposition du côté de la théorie des fondements, simultanément ce que disent les discours de type fondationnels à propos du continu et du discret, et le sens en lequel par leurs décisions méthodologiques ils illustrent la profondeur de l'opposition, sa radicalité ; finalement on racontera un peu la « dynamique » du continu et du discret dans les mathématiques classiques et contemporaines.

Signification logico-mathématique de l'opposition