CONTINU HYPOTHÈSE DU
Les fragments Hk
En considérant des ensembles de taille de plus en plus grande, on obtient une suite naturelle de fragments. On notera H0 le fragment constitué des ensembles héréditairement finis, c'est-à-dire finis et dont les éléments, les éléments des éléments, etc., sont finis. De même, on notera H1 le fragment des ensembles héréditairement dénombrables ou héréditairement finis, puis Hk celui des ensembles héréditairement de cardinal moindre que ℵk, le k-ième cardinal infini de Cantor.
Rappelons que le cardinal d'un ensemble est le nombre de ses éléments : dans le cas des ensembles finis, c'est un nombre entier naturel ; dans le cas des ensembles infinis, Cantor a construit des objets jouant le même rôle, appelés nombres transfinis, et organisés en une chaîne croissante ; le plus petit des nombres transfinis, noté ℵ0 (lu « aleph zéro »), correspond à l'ensemble des nombres entiers naturels ℕ ; puis, correspondant à des ensembles de plus en plus grands, viennent ℵ1, ℵ2, et ainsi de suite. Le problème du continu est de savoir si la cardinalité de l'ensemble des nombres réels est ℵ1, c'est-à-dire si c'est le premier nombre transfini après ℵ0.
Il se trouve qu'en un sens précis l'arithmétique des nombres entiers naturels, autrement dit la structure (ℕ, +, ×), est équivalente à H0, et, par conséquent, ZFC est une solution pour H0.
Dans une large mesure, l'étude du fragment H1, notamment la recherche de solutions, a été la tâche principale de la théorie des ensembles jusqu'à la démonstration du théorème de Martin et Steel en 1985. La conclusion est l'existence d'une solution canonique, à savoir le système obtenu en ajoutant à ZFC l'axiome de détermination projective DP : avec ZFC+DP, on retrouve pour H1 la situation obtenue avec ZFC pour H0, à savoir complétude empirique et invariance par forcing.
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Écrit par
- Patrick DEHORNOY : professeur à l'université de Caen et à l'Institut universitaire de France
Classification
Pour citer cet article
Patrick DEHORNOY. CONTINU HYPOTHÈSE DU [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
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CANTOR GEORG (1845-1918)
- Écrit par Hourya BENIS-SINACEUR
- 2 886 mots
- 1 média
...contraire à l’intuition qu’il sollicite l’avis de Dedekind : « Je le vois, mais je ne le crois pas », lui écrit-il. On ne pouvait imaginer en effet que la notion si fondamentale de dimension d’un espace continu (égale à 2 pour le carré, à 1 pour l’intervalle, à 3 pour un cube, etc.) n’intervienne pas dans... -
COHEN PAUL JOSEPH (1934-2007)
- Écrit par Gabriel SABBAGH
- 154 mots
Mathématicien et logicien américain, Paul Joseph Cohen est né le 2 avril 1934 à Long Branch (New Jersey) et mort le 23 mars 2007 à Stanford (Californie). En 1963, Cohen a découvert une nouvelle construction de modèles, appelée forcing, qui joue désormais un rôle fondamental dans la théorie des...
-
CONTINU & DISCRET
- Écrit par Jean-Michel SALANSKIS
- 7 672 mots
...associé à l'objet de l'analyse réelle. On se contentera ici de mentionner le théorème de Lowenheim-Skolem et le résultat de Cohen au sujet de l'hypothèse du continu : ces travaux, parmi les plus célèbres du domaine en question, permettent de bien voir comment se pose le problème du continu dans le cadre de... -
GÖDEL KURT (1906-1978)
- Écrit par Daniel ANDLER
- 2 292 mots
...premier résultat de non-contradiction relative. Si la théorie des ensembles est cohérente, cette théorie enrichie de l'axiome du choix et de l'hypothèse généralisée du continu est cohérente. La notion d'univers constructible employée par Gödel dans ce travail est devenue l'un... - Afficher les 7 références
Voir aussi
- LOGIQUE MATHÉMATIQUE
- BAIRE THÉORÈME DE
- CHOIX AXIOME DU
- CARDINAL, mathématiques
- PREUVE, mathématiques
- ENSEMBLES THÉORIE AXIOMATIQUE DES
- WOODIN W. HUGH (1955- )
- WOODIN THÉORÈME DE
- OMÉGA-LOGIQUE
- OMÉGA-CONJECTURE
- ZFC AXIOMES DE
- ZFC MODÈLES DE
- ZERMELO-FRAENKEL AXIOMES DE
- COMPLÉTUDE, mathématiques
- ENTIER NATUREL
- FORCING, mathématiques
- INDÉCIDABLE, mathématiques
- NON-CONTRADICTION
