DISTRIBUTIONS, mathématiques

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Séries et intégrales de Fourier

La plupart des grandes théories de l'analyse classique s'étendent aux distributions ; nous nous limiterons ici à des indications rapides sur la théorie de Fourier (cf. analyse harmonique) en renvoyant à l'article calcul symbolique pour la transformation de Laplace.

Transformation de Fourier dans l'espace S

Le domaine naturel de la transformation de Fourier élémentaire est l'espace S des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide ainsi que toutes leurs dérivées : c'est l'espace des applications ϕ indéfiniment dérivables de Rn dans le corps C des nombres complexes telles que :

pour tout entier l et tout multi-indice k. Cet espace S(Rn) est une e.v.s. pour la notion suivante de suites convergentes : par définition, une suite (ϕn) de fonctions de S tend vers 0 si :
quels que soient l'entier l et le multi-indice k.

Pour ϕ ∈ S(Rn), on appelle transformée de Fourier de S, la fonction :

définie par la formule intégrale :
où < x, u >= u1x1 + u2x2 + ... + unxn désigne le produit scalaire dans Rn. Cette définition de la transformation de Fourier n'est pas universelle ; certains auteurs préfèrent prendre par exemple :

On passe d'une définition à l'autre par un simple changement de variable dans l'intégrale définissant ̂ϕ. Nous écrirons tout ce qui suit avec la convention indiquée, adoptée par de nombreux mathématiciens qui étudient les équations aux dérivées partielles. Dans l'article analyse harmonique, au contraire, on préférera adopter la seconde formule.

L'application F qui à ϕ fait correspondre sa transformée de Fourier ̂ϕ possède les principales propriétés suivantes :

a) la fonction ϕ est dans S et

est un isomorphisme de l'e.v.s. S sur lui-même ;

b) pour tout couple de fonctions ϕ et ψ de S, on a les formules :

(relation de Parseval),
(relation de Plancherel) ;

c) l'isomorphisme réciproque de l'isomorphisme F est défini par :

(formule d'inversion de Fourier).

Transformation de Fourier dans S′

On appelle distribution tempérée dans Rn toute forme linéaire séquentiellement continue sur S ; remarquons que, puisque l'application identique de D(Rn) dans S(Rn) est un morphisme et que toute ϕ de S est limite d'une suite d'éléments de D, la transposée de cette application identique est une injection. Cette injection fait apparaître l'espace S′ des distributions tempérées comme un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel D′ des distributions.

Par définition, on appelle alors transformée de Fourier d'une distribution tempérée T la distribution tempérée T̂ définie par :

Considérons par exemple la distribution sur R définie par la fonction x ; sa transformée de Fourier x est telle que :

un calcul facile montre que cette dernière intégrale vaut :
où δ′0 est la dérivée (au sens de distributions) de la distribution de Dirac en 0. Ainsi ̂x = 2 πδ′0. Par des raisonnements analogues, on pourrait montrer que la distribution :
a pour transformée de Fourier :
ce qui est équivalent à la relation de Poisson,
valable pour toute fonction ϕ ∈ S(R).

Coefficients de Fourier d'une distribution périodique

Comme d'habitude, on identifiera le tore T = R/2 πZ (quotient de R par la relation d'équivalence ∼ y si x − y est un multiple entier de 2 π) à la circonférence unité du plan complexe, tout point de cette circonférence étant caractérisé par son affixe eiθ, ou, ce qui revient au même, par son abscisse curviligne θ. Cette identification établit une correspondance naturelle entre les fonctions définies sur le tore T et les fonctions périodiques de période 2π définies sur R. Par définition, on dit qu'une fonction définie sur T est indéfiniment dérivable s'il en est ainsi pour la fonction périodique associée ; l'espace D(T) des fonctions indéfiniment dérivables sur T est alors muni d'une structure d'e.v.s. en convenant qu'une suite (ϕn) tend vers 0 dans D(T) pour → ∞, si (d/θ)ϕn tend uniformément vers 0 sur T, → ∞, pour tout entier k.

Par définition, une distribution sur T est alors une forme linéaire séquentiellement continue sur D(T) ; il est facile de voir que l'espace D′(T) de ces distribution est en correspondance bijective avec l'ensemble des distributions périodiques sur R, c'est-à-dire les distributions T telles que :

En procédant comme ci-dessus, on peut définir des opérations dans D′(T) : dérivation, produit direct, convolution, etc. Si f est une fonction intégrable définie sur T, elle définit la distribution :

Par définition, on appelle transformée de Fourier d'une fonction ϕ ∈ D(T) la suite doublement infinie ̂ϕ = (̂ϕk)−∞<<∞ définie par :

Pour développer une théorie similaire à celle de la transformation de Fourier vue ci-dessus, on est conduit à introduire l'espace vectoriel s des suites doublement infinies à décroissance rapide, c'est-à-dire les suites a = (ak)kZ telles que :

pour tout entier l ; cet espace est un e.v.s. si on convient qu'une suite (a(n)) d'éléments de s tend vers 0 si pour tout entier l la suite ∥a(n)l tend vers 0 pour → ∞.

On montre alors que l'application F définie par F(ϕ) = ̂ϕ est un isomorphisme de D(T) sur l'espace s, l'application inverse faisant correspondre à la suite a = (an) la somme de la série de Fourier :

La relation de Plancherel prend ici la forme :

elle montre que la transposée de F-1 est un isomorphisme de D′(T) sur s′ qui prolonge F. Si on note encore F cette application transposée T ↦ T̂, on a :
en particulier, si on fait ϕ(θ) = eikθ, on obtient :

On peut caractériser l'espace s′ des transformées de Fourier des distributions tempérées ; c'est l'ensemble des suites T̂ = (T̂k) à croissance lente, c'est-à-dire pour lesquelles il existe un entier l (dépendant de T) tel que Tk/kl reste borné pour |k| → ∞.

Une application

Les distributions peuvent servir à étudier le comportement des fonctions analytiques ; voici un exemple simple d'une telle situation.

À une distribution T sur le tore, associons le couple T = (T+T-) des deux fonctions holomorphes ainsi définies :

Soit maintenant P(θ) un polynôme trigonométrique, c'est-à-dire une combinaison linéaire finie d'exponentielle eikθ :

on peut écrire aussi, par abus de notation :

Soit C+ et C- deux circonférences de centre 0 et de rayons < 1 et > 1, orientées dans le sens rétrograde et dans le sens trigonométrique respectivement. Développant T et P en série, on obtient :

donc :

Pour 0 < r < 1, posons maintenant :

ainsi, on a : Tr+ − Tr- = Pr * T,
est le noyau de Poisson. On peut voir que Pr tend vers δ0 dans D′(T) pour → 1 ; il en résulte que l'on a dans D′(T) :

On interprète le résultat précédent en disant que la distribution T est la différence des valeurs au bord (le long de la circonférence unité) des fonctions holomorphes T+ et T-. Par exemple, considérons :

Développant T en série entière (en z ou en 1/z), on voit que à T est associée une distribution TN dont les coefficients de Fourier sont :

la formule (4) ci-dessus montre alors que pour tout polynôme trigonométrique P :

Si δjN désigne la mesure de Dirac sur T concentrée au point zjN, on a donc :

comme toute fonction de D(T) est approchable unif [...]

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Pour citer l’article

Paul KRÉE, « DISTRIBUTIONS, mathématiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 novembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/distributions-mathematiques/