DISTRIBUTIONS, mathématiques
Séries et intégrales de Fourier
La plupart des grandes théories de l'analyse classique s'étendent aux distributions ; nous nous limiterons ici à des indications rapides sur la théorie de Fourier (cf. analyse harmonique) en renvoyant à l'article calcul symbolique pour la transformation de Laplace.
Transformation de Fourier dans l'espace S
Le domaine naturel de la transformation de Fourier élémentaire est l'espace S des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide ainsi que toutes leurs dérivées : c'est l'espace des applications ϕ indéfiniment dérivables de Rn dans le corps C des nombres complexes telles que :
Pour ϕ ∈ S(Rn), on appelle transformée de Fourier de S, la fonction :
On passe d'une définition à l'autre par un simple changement de variable dans l'intégrale définissant ̂ϕ. Nous écrirons tout ce qui suit avec la convention indiquée, adoptée par de nombreux mathématiciens qui étudient les équations aux dérivées partielles. Dans l'article analyse harmonique, au contraire, on préférera adopter la seconde formule.
L'application F qui à ϕ fait correspondre sa transformée de Fourier ̂ϕ possède les principales propriétés suivantes :
a) la fonction ϕ est dans S et
b) pour tout couple de fonctions ϕ et ψ de S, on a les formules :
c) l'isomorphisme réciproque de l'isomorphisme F est défini par :
Transformation de Fourier dans S′
On appelle distribution tempérée dans Rn toute forme linéaire séquentiellement continue sur S ; remarquons que, puisque l'application identique de D(Rn) dans S(Rn) est un morphisme et que toute ϕ de S est limite d'une suite d'éléments de D, la transposée de cette application identique est une injection. Cette injection fait apparaître l'espace S′ des distributions tempérées comme un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel D′ des distributions.
Par définition, on appelle alors transformée de Fourier d'une distribution tempérée T la distribution tempérée T̂ définie par :
Considérons par exemple la distribution sur R définie par la fonction x ; sa transformée de Fourier x est telle que :
Coefficients de Fourier d'une distribution périodique
Comme d'habitude, on identifiera le tore T = R/2 πZ (quotient de R par la relation d'équivalence x ∼ y si x − y est un multiple entier de 2 π) à la circonférence unité du plan complexe, tout point de cette circonférence étant caractérisé par son affixe eiθ, ou, ce qui revient au même, par son abscisse curviligne θ. Cette identification établit une correspondance naturelle entre les fonctions définies sur le tore T et les fonctions périodiques de période 2π définies sur R. Par définition, on dit qu'une fonction définie sur T est indéfiniment dérivable s'il en est ainsi pour la fonction périodique[...]
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Écrit par
- Paul KRÉE : professeur à l'université de Paris-VI
. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )
Média
Distribution de Dirac
Encyclopædia Universalis France
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