DISTRIBUTIONS, mathématiques

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Séries et intégrales de Fourier

La plupart des grandes théories de l'analyse classique s'étendent aux distributions ; nous nous limiterons ici à des indications rapides sur la théorie de Fourier (cf. analyse harmonique) en renvoyant à l'article calcul symbolique pour la transformation de Laplace.

Transformation de Fourier dans l'espace S

Le domaine naturel de la transformation de Fourier élémentaire est l'espace S des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide ainsi que toutes leurs dérivées : c'est l'espace des applications ϕ indéfiniment dérivables de Rn dans le corps C des nombres complexes telles que :

pour tout entier l et tout multi-indice k. Cet espace S(Rn) est une e.v.s. pour la notion suivante de suites convergentes : par définition, une suite (ϕn) de fonctions de S tend vers 0 si :
quels que soient l'entier l et le multi-indice k.

Pour ϕ ∈ S(Rn), on appelle transformée de Fourier de S, la fonction :

définie par la formule intégrale :
où < x, u >= u1x1 + u2x2 + ... + unxn désigne le produit scalaire dans Rn. Cette définition de la transformation de Fourier n'est pas universelle ; certains auteurs préfèrent prendre par exemple :

On passe d'une définition à l'autre par un simple changement de variable dans l'intégrale définissant ̂ϕ. Nous écrirons tout ce qui suit avec la convention indiquée, adoptée par de nombreux mathématiciens qui étudient les équations aux dérivées partielles. Dans l'article analyse harmonique, au contraire, on préférera adopter la seconde formule.

L'application F qui à ϕ fait correspondre sa transformée de Fourier ̂ϕ possède les principales propriétés suivantes :

a) la fonction ϕ est dans S et

est un isomorphisme de l'e.v.s. S sur lui-même ;

b) pour tout couple de fonctions ϕ et ψ de S, on a les formules :

(relation de Parseval),
(relation de Plancherel) ;

c) l'isomorphisme réciproque de l'isomorphisme F est défini par :

(formule d'inversion de Fourier).

Transformation de Fourier dans S′

On appelle distribution tempérée dans Rn toute forme linéaire séquentiellement continue sur S ; remarquons que, puisque l'application identique de D(Rn) d [...]

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Pour citer l’article

Paul KRÉE, « DISTRIBUTIONS, mathématiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/distributions-mathematiques/