HARMONIQUE ANALYSE

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Lorsqu'on fait vibrer, dans des conditions idéales, une corde de longueur l, fixée en ses extrémités d'abscisses 0 et l, l'équation aux dérivées partielles :

est vérifiée, où u(x, t) est une fonction dont la valeur représente, à l'instant t, le déplacement transversal, par rapport à la position d'équilibre, du point d'abscisse x.

D'Alembert donne, en 1747, la solution de cette équation sous la forme :

f est une fonction quelconque de période 2 l. Quelques années plus tard, en 1753, Daniel Bernoulli considère des solutions particulières de l'équation des cordes vibrantes, de la forme :
pour toute valeur entière positive de n. Ces solutions correspondent aux fonctions f de la forme :

Or les fonctions trigonométriques :

sont les plus simples des fonctions de période 2 l. D'où l'idée, avancée par Bernoulli, que la fonction f la plus générale, qui intervient dans la solution de d'Alembert, peut s'exprimer sous la forme d'une série trigonométrique :
ou, de manière équivalente :

Le terme correspondant à n = 1 donne alors la vibration fondamentale de la corde, les termes suivants correspondent aux harmoniques (cela rejoint l'expérience acoustique courante) ; de plus, le coefficient αn régit l'intensité de l'harmonique d'ordre n, et βn en définit la phase.

Ainsi le problème des cordes vibrantes menait tout naturellement à la question suivante : une fonction périodique peut-elle se représenter par une série trigonométrique ? L'analyse harmonique classique est, en principe, la branche des mathématiques qui traite de problèmes de ce type.

Pour obtenir des éléments de réponse à cette question fondamentale, il a fallu, à partir du milieu du xviiie siècle, que les mathématiciens se fassent une idée de plus en plus précise des objets sur lesquels ils travaillaient. C'est ainsi que l'étude de la représentation des fonctions périodiques par des séries trigonométriques devait fortement contribuer à la prise de conscience de la notion de fonction : la conception moderne d'une fonction, définie comme une correspondance, et pouvant fort [...]

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Pour citer l’article

René SPECTOR, « HARMONIQUE ANALYSE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-harmonique/