HARMONIQUE ANALYSE

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Lorsqu'on fait vibrer, dans des conditions idéales, une corde de longueur l, fixée en ses extrémités d'abscisses 0 et l, l'équation aux dérivées partielles :

est vérifiée, où u(x, t) est une fonction dont la valeur représente, à l'instant t, le déplacement transversal, par rapport à la position d'équilibre, du point d'abscisse x.

D'Alembert donne, en 1747, la solution de cette équation sous la forme :

f est une fonction quelconque de période 2 l. Quelques années plus tard, en 1753, Daniel Bernoulli considère des solutions particulières de l'équation des cordes vibrantes, de la forme :
pour toute valeur entière positive de n. Ces solutions correspondent aux fonctions f de la forme :

Or les fonctions trigonométriques :

sont les plus simples des fonctions de période 2 l. D'où l'idée, avancée par Bernoulli, que la fonction f la plus générale, qui intervient dans la solution de d'Alembert, peut s'exprimer sous la forme d'une série trigonométrique :
ou, de manière équivalente :

Le terme correspondant à n = 1 donne alors la vibration fondamentale de la corde, les termes suivants correspondent aux harmoniques (cela rejoint l'expérience acoustique courante) ; de plus, le coefficient αn régit l'intensité de l'harmonique d'ordre n, et βn en définit la phase.

Ainsi le problème des cordes vibrantes menait tout naturellement à la question suivante : une fonction périodique peut-elle se représenter par une série trigonométrique ? L'analyse harmonique classique est, en principe, la branche des mathématiques qui traite de problèmes de ce type.

Pour obtenir des éléments de réponse à cette question fondamentale, il a fallu, à partir du milieu du xviiie siècle, que les mathématiciens se fassent une idée de plus en plus précise des objets sur lesquels ils travaillaient. C'est ainsi que l'étude de la représentation des fonctions périodiques par des séries trigonométriques devait fortement contribuer à la prise de conscience de la notion de fonction : la conception moderne d'une fonction, définie comme une correspondance, et pouvant fort bien ne posséder aucune des propriétés usuelles de régularité (continuité, dérivabilité, intégrabilité), émergea peu à peu lorsqu'il devint évident que l'idée naïve d'une fonction donnée par une formule explicite était insuffisante : il fallut tout à la fois préciser ce qu'on entendait par « fonction quelconque » et considérer des classes particulières de fonctions dont les propriétés spéciales, soigneusement mises en évidence, permettaient de résoudre un problème donné.

Ensuite, la théorie des distributions et celle des groupes topologiques sont venues proposer diverses directions dans lesquelles l'analyse harmonique se généralise et s'approfondit ; celle-ci est devenue une branche importante des mathématiques, en relation avec les distributions, les algèbres normées, les probabilités, les espaces de Hilbert, les fonctions de variable complexe et s'est étendue aux fonctions non linéaires.

Les séries de Fourier

Les coefficients de Fourier

Considérons une fonction f à valeurs réelles ou complexes, d'une variable réelle, périodique, de période 2π pour fixer les idées. Si f admet un développement en série trigonométrique :

et que la série Σ(|ak| + |bk|) soit convergente, on peut intégrer terme à terme, entre 0 et 2π, les séries :

Compte tenu des relations, valables pour des entiers n et k :

on obtient les valeurs des coefficients an et bn directement à partir de la somme (x) de la série donnée :
ce sont les formules de Fourier.

Si, maintenant, on part d'une fonction f, de période 2π, continue (il suffit, en fait, qu'elle soit intégrable, au sens de Lebesgue sur [0, 2π]), il est naturel de considérer, par analogie avec ce qui précède, les coefficients an et bn donnés, pour un entier ≥ 0, par les formules (2). Ce sont les coefficients de Fourier de la fonction f, et la série qu'ils définissent est la série de Fourier de f. Rien ne permet de préjuger de la convergence de cette série vers f, aussi la relation entre f et sa série de Fourier n'est-elle pas notée par le signe d'égalité, mais on écrit :

Si, au lieu d'une fonction de période 2π, on considère une fonction f de période T, on définit de manière analogue les coefficients de Fourier de f par les formules :

la série de Fourier de f est alors :

Questions de convergence

Le problème de la représentation d'une fonction périodique par une série trigonométrique se ramène à l [...]

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Pour citer l’article

René SPECTOR, « HARMONIQUE ANALYSE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-harmonique/