DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire

Il existe une théorie mathématique assez bien constituée des équations aux dérivées partielles linéaires, dont nous allons essayer de donner une idée. En contraste, les équations non linéaires présentent un foisonnement de problèmes et de méthodes dont peu sont générales. Sans que nous le précisions à chaque fois, certains des résultats que nous allons donner dans le cas linéaire se généralisent au non linéaire. Pourtant, même ceux-là font partie de la théorie linéaire, soit que la généralisation non linéaire soit limitée à des situations trop restrictives, soit qu'elle ne s'insère pas dans une théorie cohérente.

Pour pouvoir conserver les notations de la partie précédente pour les problèmes d'évolution, nous nous placerons sur un ouvert de Rⁿ⁺¹ (à l'occasion Cⁿ⁺¹) et nous noterons en général y = (y₀, y₁,..., y_n) les coordonnées. Pour α ∈ Nⁿ⁺¹, nous poserons :

Un opérateur linéaire aux dérivées partielles (on dit plus brièvement opérateur différentiel) est défini par un polynôme à coefficients pouvant dépendre de y :

il agit selon la formule :m s'appelle l'ordre de P. L'opérateur P_m obtenu en ne gardant que les termes où la dérivation est d'ordre m exactement s'appelle la partie princiale de P. On notera ∇ le gradient :(cf. calcul infinitésimal - Calcul à plusieurs variables).

À côté de ces notations, il nous arrivera d'utiliser des notations en (t, x) où t ∈ R (ou C) et x ∈ Rⁿ (ou