DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire

Unicité de la solution distribution

Le théorème de Cauchy-Kovalevskaïa n'exclut pas l'existence de solutions non analytiques au problème de Cauchy. Cette lacune a été comblée, en 1901 par le théorème de Holmgren qui affirme l'unicité des solutions « classiques » (c'est-à-dire m fois différentiables). Très élégante, la démonstration de Holmgren est remarquable pour l'époque par la façon dont elle met en jeu des idées de l'analyse moderne : dualité et densité.

Le résultat de Holmgren a été étendu par Hörmander aux solutions distributions. Il est nécessaire dans ce nouveau cadre de reformuler le problème, puisque la restriction d'une distribution à l'hyperplan t = 0, qui intervient dans les données de Cauchy, n'a a priori pas de sens. Notons θ la fonction qui vaut 0 pour t < 0 et 1 pour t ≥ 0, et δ la distribution de Dirac. La fonction u vérifie les conditions (2) et (3) si et seulement si on a l'équation entre distributions :

L'unicité de la solution du problème de Cauchy devient ainsi une affirmation sur le support des distributions qui vérifient l'équation :

Le problème de Cauchy en coordonnées générales : hypersurfaces caractéristiques

Dans certaines situations, on a besoin d'étudier un problème de Cauchy où les données, au lieu d'être portées par l'hyperplan t = 0, le sont par une autre hypersurface Σ. Il y a donc lieu de voir si on peut trouver des coordonnées (t, x) telles que :

a) l'opérateur P prend la forme (1) au produit près par une fonction non nulle (nous pourrons diviser le second membre par cette fonction) ; cela revient à dire que le coefficient de (∂^mu)/(∂t^m) ne s'annule pas ;

b) l'équation de Σ devienne t = 0.

Supposons donc que Σ soit définie par une équation S(y) = 0, où S est une fonction analytique dont le gradient ne s'annule pas. Nous prenons pour nouvelles coordonnées t = S(y) et des fonctions x₁, ..., x_n de façon que l'ensemble (t, x) fasse un système de coordonnées. Un calcul sans histoire montre que le coefficient de (∂^mu)/(∂t^m) est :

Trois cas peuvent alors se présenter.

Le premier cas est dit non caractéristique : l'expression (6) est non nulle ; le théorème de Cauchy-Kovalevskaïa et celui de Holmgren s'appliquent au problème de Cauchy avec données portées par Σ.

Le deuxième cas est le cas caractéristique, c'est-à-dire que l'équation :

Il reste des cas intermédiaires où l'expression (6) s'annule, mais pas identiquement. C'est le plus délicat. Il y a lieu à ce sujet de signaler les résultats de Leray sur l'uniformisation du problème de Cauchy : la solution se ramifie autour de la variété où l'expression (6) s'annule.

Un point important à retenir est que les hypersurfaces qui peuvent faire partie de la frontière du support d'une solution de l'équation (7) sont les caractéristiques. Un autre est la caractérisation des équations elliptiques : elles n'ont pas de caractéristiques réelles. Dans le cas elliptique, il n'y a pas d'hypersurfaces pour limiter le support des solutions de (7), et pour cause : on démontre qu'elles sont analytiques.

Les limitations du théorème de Cauchy-Kovalevskaïa ont été mises en lumière de façon particulièrement claire par Hadamard dans ses Leçons sur le problème de Cauchy (publiées à Yale en 1923 et à Paris en 1932). Elles portent sur trois points liés entre eux qui rendent le résultat inopérant dans les applications physiques :

– sa nature très locale ;

– l'hypothèse d'analyticité des données ; les situations physiques où l'analyticité est une propriété naturelle sont rares et en tout cas ce ne sont pas celles où se posent des problèmes de Cauchy ;

– conséquence des deux circonstances précédentes, une instabilité de la solution : si on modifie les données en leur ajoutant des fonctions analytiques si petites soient-elles, on perd tout contrôle de la solution, et même de son domaine d'existence, si on ne connaît pas le domaine d'analyticité complexe de la perturbation.

Ces limitations expliquent l'importance des équations hyperboliques définies comme celles où il y a encore existence pour le problème de Cauchy à données indéfiniment différentiables (ou à données distributions : si le passage de l'analytique au différentiable implique dans ce problème une différence essentielle, le passage des fonctions différentiables aux distributions est au contraire automatique pourvu que les coefficients soient eux-mêmes indéfiniment différentiables).