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DISTRIBUTIONS, mathématiques

Définition des distributions

Il est clair que, pour généraliser la notion de fonction, il faut abandonner certaines propriétés usuelles des fonctions (par exemple le fait qu'une fonction prend une valeur déterminée en chaque point) pour ne conserver que certaines propriétés. L. Schwartz utilise comme notion essentielle la propriété d'opérer linéairement sur des classes de fonctions très régulières.

Méthode générale de construction

La méthode générale pour définir un espace de fonctions généralisées sur un ouvert Ω de Rn est la suivante. On prend tout d'abord un e.v.s. T de fonctions « suffisamment régulières » dans Ω ; par définition, l'espace des fonctions généralisées sur Ω est alors l'espace T′ des formes linéaires séquentiellement continues sur T. Pour justifier la terminologie de « fonctions généralisées », il faut identifier les fonctions « régulières » sur Ω à des éléments de T′ ; pour cela, on identifie une telle fonction f à la forme linéaire sur T :

où x = (x1, ..., xn) et dx = dx1dx2 ... dxn. Nous allons préciser ces indications générales en construisant en détail les distributions proprement dites.

Définition des distributions

On prend ici pour espace T l'e.v.s. D(Ω), défini ci-dessus, des fonctions indéfiniment différentiables et à support compact dans Ω. L'espace D′ (Ω) des distributions dans Ω est alors par définition l'ensemble des formes linéaires T séquentiellement continues sur D ; on note indifféremment :

la valeur de la distribution T (forme linéaire sur D(Ω)) sur la fonction ϕ ∈ D(Ω). Remarquons que la dernière écriture est abusive ; elle est utilisée car elle rappelle que, si T est une fonction, l'expression de T(ϕ) est donnée par une intégrale. Précisons ce point.

Si f est une fonction intégrable (au sens de la théorie de Lebesgue) sur tout compact de Ω (on dit alors que f est localement intégrable), on peut l'identifier à la distribution :

les distributions définies par deux fonctions f et g localement intégrables dans Ω coïncident si et seulement si f et g « coïncident » au sens de la théorie de Lebesgue, c'est-à-dire sont égales presque partout ; ainsi, les distributions ne généralisent pas à proprement parler les fonctions, mais les classes de fonctions égales presque partout : si on modifie une fonction en changeant sa valeur en un point, par exemple, elle définit toujours la même distribution ; on a bien abandonné la propriété des fonctions d'être définies par leur valeur en tout point.

La notion d'e.v.s. permet de définir la notion de suites convergentes de distributions : si T1, T2, ..., Tn, ... est une suite de distributions, on dit, en accord avec la définition de l'e.v.s. D′(Ω), que cette suite tend vers une distribution T si :

pour toute fonction ϕ ∈ D(Ω). On peut montrer que, si pour toute fonction ϕ ∈ D(Ω) la suite de nombres complexes Tn(ϕ) tend vers une limite, l'application définie dans D(Ω) qui à ϕ ∈ D(Ω) fait correspondre cette limite est une distribution, limite de la suite des distributions Tn. Cette propriété est généralement très facile à vérifier et permet de définir de nombreuses distributions nouvelles à partir de distributions déjà connues.

La notion de suite convergente de distributions permet en particulier de définir les séries convergentes de distributions. Si (Tn) est une suite de distributions, on dit que la série de terme général Tn est convergente (au sens des distributions) de somme T si la suite des sommes partielles est convergente au sens indiqué ci-dessus ; on écrit alors Σ Tn = T.

Exemples

a) Soit a un point de Rn ; l'application qui à toute fonction ϕ ∈ D(Rn) fait correspondre la valeur ϕ(a) de la fonction ϕ en a est une distribution appelée distribution de Dirac et notée δa.[...]

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Écrit par

  • : professeur à l'université de Paris-VI

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Classification

Pour citer cet article

Paul KRÉE. DISTRIBUTIONS, mathématiques [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Média

Distribution de Dirac - crédits : Encyclopædia Universalis France

Distribution de Dirac

Encyclopædia Universalis France

Autres références

  • THÉORIE DES DISTRIBUTIONS (L. Schwartz)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 200 mots

    Professeur à l'université de Nancy, Laurent Schwartz (1915-2002) fonde la théorie mathématique des distributions dans un article intitulé « Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques ». Il donne une interprétation...

  • DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires

    • Écrit par Claude BARDOS
    • 10 628 mots
    • 3 médias
    ...est donc conduit à chercher une solution discontinue de (3) après le choc, c'est-à-dire une fonction u-mesurable et bornée qui vérifie (4) au sens des distributions. En particulier, si elle est discontinue le long d'une courbe x = s(t), dite courbe de choc, elle devra vérifier la relation de...

  • DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

    • Écrit par Martin ZERNER
    • 5 367 mots
    Le résultat de Holmgren a été étendu par Hörmander aux solutions distributions. Il est nécessaire dans ce nouveau cadre de reformuler le problème, puisque la restriction d'une distribution à l'hyperplan t = 0, qui intervient dans les données de Cauchy, n'a a priori pas de sens. Notons...

  • DIEUDONNÉ JEAN (1906-1992)

    • Écrit par Universalis, Jean-Luc VERLEY
    • 385 mots
    • 1 média

    Les travaux du mathématicien français Jean Dieudonné concernent d'importants domaines de la topologie et de l'algèbre.

    Né le 1er juillet 1906 à Lille, Jean Dieudonné passe une année au Royaume-Uni en 1919 et une fin d’études secondaires au lycée Faidherbe de Lille, avant d’intégrer...

  • FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

    • Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
    • 18 453 mots
    • 6 médias
    Les convergences avec conditions sur les supports jouent un rôle important dans les problèmes liés au calcul intégral et à ses extensions (mesures de Radon et distributions).
  • Afficher les 7 références

Voir aussi

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