DISTRIBUTIONS, mathématiques

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Définition des distributions

Il est clair que, pour généraliser la notion de fonction, il faut abandonner certaines propriétés usuelles des fonctions (par exemple le fait qu'une fonction prend une valeur déterminée en chaque point) pour ne conserver que certaines propriétés. L. Schwartz utilise comme notion essentielle la propriété d'opérer linéairement sur des classes de fonctions très régulières.

Méthode générale de construction

La méthode générale pour définir un espace de fonctions généralisées sur un ouvert Ω de Rn est la suivante. On prend tout d'abord un e.v.s. T de fonctions « suffisamment régulières » dans Ω ; par définition, l'espace des fonctions généralisées sur Ω est alors l'espace T′ des formes linéaires séquentiellement continues sur T. Pour justifier la terminologie de « fonctions généralisées », il faut identifier les fonctions « régulières » sur Ω à des éléments de T′ ; pour cela, on identifie une telle fonction f à la forme linéaire sur T :

x = (x1, ..., xn) et dx = dx1 dx2 ... dxn. Nous allons préciser ces indications générales en construisant en détail les distributions proprement dites.

Définition des distributions

On prend ici pour espace T l'e.v.s. D(Ω), défini ci-dessus, des fonctions indéfiniment différentiables et à support compact dans Ω. L'espace D′ (Ω) des distributions dans Ω est alors par définition l'ensemble des formes linéaires T séquentiellement continues sur D ; on note indifféremment :

la valeur de la distribution T (forme linéaire sur D(Ω)) sur la fonction ϕ ∈ D(Ω). Remarquons que la dernière écriture est abusive ; elle est utilisée car elle rappelle que, si T est une fonction, l'expression de T(ϕ) est donnée par une intégrale. Précisons ce point.

Si f est une fonction intégrable (au sens de la théorie de Lebesgue) sur tout compact de Ω (on dit alors que f est localement intégrable), on peut l'identifier à la distribution :

les distributions définies par deux fonctions f et g localement intégrables dans Ω coïncident si et seulement si f et g « coïncident » au sens de la théorie de Lebesgue, c'est-à-dire sont égales presque partout ; ainsi, les distributions ne généralisent pas à proprement parler les fonctions, mais les classes de fonctions égales presque partout : si on modifie une fonction en changeant sa valeur en un point, par exemple, elle définit toujours la même distribution ; on a bien abandonné la propriété des fonctions d'être définies par leur valeur en

1 2 3 4 5

pour nos abonnés,
l’article se compose de 8 pages




Écrit par :

Classification


Autres références

«  DISTRIBUTIONS, mathématiques  » est également traité dans :

THÉORIE DES DISTRIBUTIONS (L. Schwartz)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 199 mots

Professeur à l'université de Nancy, Laurent Schwartz (1915-2002) fonde la théorie mathématique des distributions dans un article intitulé « Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques ». Il donne une interprétation unifiée […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-distributions/#i_31074

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires

  • Écrit par 
  • Claude BARDOS
  •  • 10 860 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Les systèmes hyperboliques non linéaires »  : […] On se propose de considérer des systèmes de la forme : où u est un vecteur à m composantes et F i une fonction régulière de R m dans R m . Son gradient (par rapport à u ) est donc une matrice A i […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-equations-non-lineaires/#i_31074

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

  • Écrit par 
  • Martin ZERNER
  •  • 5 498 mots

Dans le chapitre « La transformation de Fourier et ses généralisations »  : […] Nous emploierons les notations suivantes pour la transformation de Fourier : où n est la dimension de l'espace (cf.  distributions , chap. 4, et analyse harmonique , chap. 3). Il en résulte que : en d'autres termes, la transformation de Fourier transforme la dérivation partielle en produit par la variable correspondante, au […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-theorie-lineaire/#i_31074

DIEUDONNÉ JEAN (1906-1992)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 284 mots
  •  • 1 média

Les travaux de ce mathématicien français, né le 1 er  juillet 1906 à Lille, concernent d'importants domaines de la topologie et de l'algèbre. Depuis 1935, et jusqu'à ces dernières années, Dieudonné a collaboré très activement à l'élaboration des Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki . En 1968, il a été élu à l'Académie des sciences. En topolog […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jean-dieudonne/#i_31074

FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 19 537 mots
  •  • 6 médias

Dans le chapitre « Emploi des distributions »  : […] Les théorèmes précédents sont satisfaisants en ce qui concerne la continuité et l'intégration mais le sont beaucoup moins en ce qui concerne la dérivation. Cela tient au fait que, dans les espaces classiques de fonctions, l'opérateur D de dérivation n'est pas continu. Un des avantages principaux de la théorie des distributions est précisément de fournir un cadre théorique dans lequel la dérivation […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/representation-et-approximation-des-fonctions/#i_31074

POTENTIEL THÉORIE DU

  • Écrit par 
  • Arnaud de la PRADELLE
  •  • 6 343 mots

Dans le chapitre « Théorème de représentation de Riesz »  : […] Soit y un point de B( x 0 , R). On appelle fonction de Green ou bien noyau de Green de la boule B( x 0 , R) relative au pôle y la fonction : où I( h y ) est l'intégrale de Poisson dans B de la restriction de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-du-potentiel/#i_31074

SCHWARTZ LAURENT (1915-2002)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 807 mots

Né à Paris le 5 mars 1915 et décédé le 4 juillet 2002, le mathématicien Laurent Moïse Schwartz a été une des personnalités scientifiques françaises marquantes du xx e  siècle. Chercheur au rayonnement international indiscuté (lauréat de la médaille Fields en 1950), pédagogue exceptionnel, il fut aussi, aux yeux du public, un intellectuel engagé. I […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/laurent-schwartz/#i_31074

SYMBOLIQUE CALCUL

  • Écrit par 
  • Robert PALLU DE LA BARRIÈRE
  •  • 2 457 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Transformation de Laplace des fonctions et des mesures »  : […] Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes définie sur l'ensemble R des nombres réels et nulle pour les valeurs strictement négatives de la variable (c'est-à-dire que f est une fonction « à support positif »). Sa transformée de Laplace est la fonction L f de la variable complexe p définie par la formule […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-symbolique/#i_31074

Pour citer l’article

Paul KRÉE, « DISTRIBUTIONS, mathématiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/distributions-mathematiques/