FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
- 1. Convergences usuelles en analyse
- 2. Représentations par des intégrales
- 3. Représentations par des séries
- 4. Approximation par des suites
- 5. Interpolation et discrétisation
- 6. Opérations sur les représentations et les approximations
- 7. Stabilité et consistance
- 8. Optimisation de l'approximation ; rapidité de convergence
- 9. Bibliographie
Il arrive très souvent que, dans les problèmes issus des mathématiques ou des autres sciences, les fonctions qui interviennent soient définies par des procédés qui ne permettent pas d'étudier de manière efficace leurs propriétés. C'est le cas des fonctions définies comme solutions d'équations fonctionnelles, d'équations différentielles ou intégrales, d'équations aux dérivées partielles, ou encore de problèmes variationnels. Ainsi, les fonctions exponentielles sont les solutions suffisamment régulières de l'équation fonctionnelle f (x + y) = f (x)f (y), ou encore de l'équation différentielle f ′(x) = af (x).
On essaie alors de représenter une telle fonction f sous une forme plus efficace pour l'étude du problème posé (existence et unicité, variation de f, comportement asymptotique, dépendance de paramètres, approximation numérique, prolongement analytique...).
Quelques grandes méthodes se sont progressivement dégagées.
Il s'agit en premier lieu des représentations continues, obtenues à l'aide du calcul intégral. Dès le xviie siècle, le calcul des primitives a été utilisé pour représenter certaines fonctions. Ainsi, la fonction logarithme satisfait au problème de Cauchy g′(t ) = 1/t, g(1) = 0, d'où :
Il s'agit en second lieu des représentations discrètes et, au premier chef, des développements en série entière. Ainsi, la recherche des solutions sur R du problème de Cauchy y′ = y, y(0) = 1, sous forme de série entière conduit à l'expression :
On peut alors étudier les solutions sur [0, + ∞[ du problème de Cauchy y′ = ay, y(0) = λ, où λ et a sont des nombres complexes, et établir la condition de stabilité en fonction du paramètre a, à savoir Rea < 0.
Selon les problèmes, on est amené à utiliser d'autres types de séries : séries de Fourier pour les phénomènes périodiques, séries de polynômes orthogonaux...
On peut aussi utiliser des procédés d'approximation par des suites de fonctions. Ainsi, la méthode du pas à pas d'Euler et Cauchy (cf. équations différentielles, chap. 7), appliquée à l'équation différentielle y′ = y, y(0) = 1, conduit à la relation :
Au xviiie siècle, les problèmes de représentation et d'approximation sont étudiés dans le cadre formel, le passage au domaine numérique étant traité de façon purement expérimentale, tandis qu'au xixe siècle, les problèmes de convergence jouent un rôle central ainsi que la validité des opérations sur les représentations utilisées (opérations algébriques, dérivation, intégration, sommation...).
Les problèmes numériques conduisent à étudier non seulement la convergence mais aussi la vitesse de convergence et la stabilité. Ces nouvelles préoccupations conduisent, à la fin du xixe siècle,[...]
- 1. Convergences usuelles en analyse
- 2. Représentations par des intégrales
- 3. Représentations par des séries
- 4. Approximation par des suites
- 5. Interpolation et discrétisation
- 6. Opérations sur les représentations et les approximations
- 7. Stabilité et consistance
- 8. Optimisation de l'approximation ; rapidité de convergence
- 9. Bibliographie
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Écrit par
- Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
. In Encyclopædia Universalis []. Disponible sur : (consulté le )
Médias
Graphe de f pour
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Fonction à oscillation rapide
Encyclopædia Universalis France
Fonction à oscillation rapide
Graphe d'une fonction à oscillation rapide.
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique
- Écrit par Claude BARDOS, Martin ZERNER
- 5 849 mots
- 7 médias
Du point de vue mathématique, les méthodes d'éléments finis sont une sous-famille des méthodes de Ritz-Galerkin. Pour les problèmes variationnels, ces méthodes consistent à remplacer l'espace V des fonctions admissibles par un de ses sous-espaces VN dit « espace d'approximation ». -
DARBOUX GASTON (1842-1917)
- Écrit par Jacques MEYER
- 320 mots
Mathématicien français, né à Nîmes et mort à Paris. Après des études à l'École normale supérieure, Darboux fut l'assistant de J. Bertrand à la chaire de physique mathématique au Collège de France (1866-1867), puis enseigna au lycée Louis-le-Grand (1867-1872) et à l'École normale...
-
DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS
- Écrit par Christian COATMELEC, Universalis, Maurice ROSEAU
- 11 635 mots
..., ..., yn), suite finie de n + 1 nombres réels telle que :où :
ce problème Pn est obtenu en divisant I = [x0, x0 + a]en n parties égales avec un pas égal à h = a/n et en cherchant uneapproximation yi de y(xi) où y est la solution (lorsqu'elle est unique) de P1.
-
GELFOND ALEXANDRE OSSIPOVITCH (1906-1968)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 156 mots
Mathématicien russe, né à Saint-Pétersbourg et mort à Moscou. Le nom de Gelfond reste attaché à l'étude des nombres transcendants ; on lui doit aussi d'importants résultats sur l'interpolation et l'approximation des fonctions de variable complexe. Depuis 1931, Gelfond a enseigné les mathématiques...
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Voir aussi
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