FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

Il arrive très souvent que, dans les problèmes issus des mathématiques ou des autres sciences, les fonctions qui interviennent soient définies par des procédés qui ne permettent pas d'étudier de manière efficace leurs propriétés. C'est le cas des fonctions définies comme solutions d'équations fonctionnelles, d'équations différentielles ou intégrales, d'équations aux dérivées partielles, ou encore de problèmes variationnels. Ainsi, les fonctions exponentielles sont les solutions suffisamment régulières de l'équation fonctionnelle f (x + y) = f (x)f (y), ou encore de l'équation différentielle f ′(x) = af (x).

On essaie alors de représenter une telle fonction f sous une forme plus efficace pour l'étude du problème posé (existence et unicité, variation de f, comportement asymptotique, dépendance de paramètres, approximation numérique, prolongement analytique...).

Quelques grandes méthodes se sont progressivement dégagées.

Il s'agit en premier lieu des représentations continues, obtenues à l'aide du calcul intégral. Dès le xvii^e siècle, le calcul des primitives a été utilisé pour représenter certaines fonctions. Ainsi, la fonction logarithme satisfait au problème de Cauchy g′(t ) = 1/t, g(1) = 0, d'où :

Cette relation permet de prouver l'existence du logarithme et, par suite, de l'exponentielle, ainsi que leur variation et leur comportement à l'infini. Les représentations intégrales interviennent aussi sous la forme d'intégrales dépendant de paramètres, introduites par Leibniz. Les transformations de Fourier et de Laplace sont de ce type.

Il s'agit en second lieu des représentations discrètes et, au premier chef, des développements en série entière. Ainsi, la recherche des solutions sur R du problème de Cauchy y′ = y, y(0) = 1, sous forme de série entière conduit à l'expression :

Cette expression fournit l'existence de la fonction exponentielle et une approximation polynomiale par majoration du reste. Combinée avec l'équation fonctionnelle, elle permet aussi de calculer des valeur [...]