FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

Il arrive très souvent que, dans les problèmes issus des mathématiques ou des autres sciences, les fonctions qui interviennent soient définies par des procédés qui ne permettent pas d'étudier de manière efficace leurs propriétés. C'est le cas des fonctions définies comme solutions d'équations fonctionnelles, d'équations différentielles ou intégrales, d'équations aux dérivées partielles, ou encore de problèmes variationnels. Ainsi, les fonctions exponentielles sont les solutions suffisamment régulières de l'équation fonctionnelle f (x + y) = f (x)f (y), ou encore de l'équation différentielle f ′(x) = af (x).

On essaie alors de représenter une telle fonction f sous une forme plus efficace pour l'étude du problème posé (existence et unicité, variation de f, comportement asymptotique, dépendance de paramètres, approximation numérique, prolongement analytique...).

Quelques grandes méthodes se sont progressivement dégagées.

Il s'agit en premier lieu des représentations continues, obtenues à l'aide du calcul intégral. Dès le xvii^e siècle, le calcul des primitives a été utilisé pour représenter certaines fonctions. Ainsi, la fonction logarithme satisfait au problème de Cauchy g′(t ) = 1/t, g(1) = 0, d'où :

Cette relation permet de prouver l'existence du logarithme et, par suite, de l'exponentielle, ainsi que leur variation et leur comportement à l'infini. Les représentations intégrales interviennent aussi sous la forme d'intégrales dépendant de paramètres, introduites par Leibniz. Les transformations de Fourier et de Laplace sont de ce type.

Il s'agit en second lieu des représentations discrètes et, au premier chef, des développements en série entière. Ainsi, la recherche des solutions sur R du problème de Cauchy y′ = y, y(0) = 1, sous forme de série entière conduit à l'expression :

Cette expression fournit l'existence de la fonction exponentielle et une approximation polynomiale par majoration du reste. Combinée avec l'équation fonctionnelle, elle permet aussi de calculer des valeurs approchées en un point ; elle permet encore de prouver que la fonction exponentielle est prépondérante au voisinage de + ∞ sur les fonctions puissance ; enfin, elle permet le prolongement analytique au plan complexe par :

On peut alors étudier les solutions sur [0, + ∞[ du problème de Cauchy y′ = ay, y(0) = λ, où λ et a sont des nombres complexes, et établir la condition de stabilité en fonction du paramètre a, à savoir Rea < 0.

Selon les problèmes, on est amené à utiliser d'autres types de séries : séries de Fourier pour les phénomènes périodiques, séries de polynômes orthogonaux...

On peut aussi utiliser des procédés d'approximation par des suites de fonctions. Ainsi, la méthode du pas à pas d'Euler et Cauchy (cf. équations différentielles, chap. 7), appliquée à l'équation différentielle y′ = y, y(0) = 1, conduit à la relation :

De même, la méthode des approximations successives de Cauchy-Picard (cf. équations différentielles, chap. 1), appliquée à cette même équation, fournit à nouveau le développement en série de la fonction exponentielle.

Au xviii^e siècle, les problèmes de représentation et d'approximation sont étudiés dans le cadre formel, le passage au domaine numérique étant traité de façon purement expérimentale, tandis qu'au xix^e siècle, les problèmes de convergence jouent un rôle central ainsi que la validité des opérations sur les représentations utilisées (opérations algébriques, dérivation, intégration, sommation...).

Les problèmes numériques conduisent à étudier non seulement la convergence mais aussi la vitesse de convergence et la stabilité. Ces nouvelles préoccupations conduisent, à la fin du xix^e siècle, à diversifier les modes de convergence, à diversifier les objets par lesquels on approche les fonctions et à rechercher des procédés optimaux. L'ensemble des travaux sur ce sujet a joué un rôle moteur dans la constitution de l'analyse fonctionnelle au début du xx^e siècle.

Enfin, dans les problèmes d'approximation, il arrive souvent qu'on veuille approcher non pas une fonction f mais la valeur sur f d'une forme linéaire donnée : intégrale de f, valeur de f ou d'une de ses dérivées en un point, coefficients de Fourier d'une fonction périodique f... Pour ce type de question, on se ramène bien entendu à approcher f par des fonctions plus simples, mais, ici, le point de vue est différent car l'ét [...]

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