FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Médias de l’article

Graphe de f pour Nx(f)petit

Graphe de f pour Nx(f)petit
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Graphe de f pour N1(f) petit

Graphe de f pour N1(f) petit
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Fonction à oscillation rapide

Fonction à oscillation rapide
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Interpolations linéaire et parabolique

Interpolations linéaire et parabolique
Crédits : Encyclopædia Universalis France

graphique

Tous les médias


Il arrive très souvent que, dans les problèmes issus des mathématiques ou des autres sciences, les fonctions qui interviennent soient définies par des procédés qui ne permettent pas d'étudier de manière efficace leurs propriétés. C'est le cas des fonctions définies comme solutions d'équations fonctionnelles, d'équations différentielles ou intégrales, d'équations aux dérivées partielles, ou encore de problèmes variationnels. Ainsi, les fonctions exponentielles sont les solutions suffisamment régulières de l'équation fonctionnelle (x + y) = (x)(y), ou encore de l'équation différentielle ′(x) = af (x).

On essaie alors de représenter une telle fonction f sous une forme plus efficace pour l'étude du problème posé (existence et unicité, variation de f, comportement asymptotique, dépendance de paramètres, approximation numérique, prolongement analytique...).

Quelques grandes méthodes se sont progressivement dégagées.

Il s'agit en premier lieu des représentations continues, obtenues à l'aide du calcul intégral. Dès le xviie siècle, le calcul des primitives a été utilisé pour représenter certaines fonctions. Ainsi, la fonction logarithme satisfait au problème de Cauchy g′() = 1/t, g(1) = 0, d'où :

Cette relation permet de prouver l'existence du logarithme et, par suite, de l'exponentielle, ainsi que leur variation et leur comportement à l'infini. Les représentations intégrales interviennent aussi sous la forme d'intégrales dépendant de paramètres, introduites par Leibniz. Les transformations de Fourier et de Laplace sont de ce type.

Il s'agit en second lieu des représentations discrètes et, au premier chef, des développements en série entière. Ainsi, la recherche des solutions sur R du problème de Cauchy y′ = y, y(0) = 1, sous forme de série entière conduit à l'expression :

Cette expression fournit l'existence de la fonction exponentielle et une approximation polynomiale par majoration du reste. Combinée avec l'équation fonctionnelle, elle permet aussi de calculer des valeur [...]

1 2 3 4 5

pour nos abonnés,
l’article se compose de 28 pages




Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

Classification


Autres références

«  FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES  » est également traité dans :

DARBOUX GASTON (1842-1917)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 320 mots

Mathématicien français, né à Nîmes et mort à Paris. Après des études à l'École normale supérieure, Darboux fut l'assistant de J. Bertrand à la chaire de physique mathématique au Collège de France (1866-1867), puis enseigna au lycée Louis-le-Grand (1867-1872) et à l'École normale (1872-1873). Il fut maître de conférences (1873-1881), puis professeur de géométrie supérieure (1881) à la faculté des s […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/gaston-darboux/#i_29965

DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique

  • Écrit par 
  • Claude BARDOS, 
  • Martin ZERNER
  •  • 5 997 mots
  •  • 7 médias

Dans le chapitre « Analyse numérique des problèmes hyperboliques »  : […] On a vu que les problèmes hyperboliques possèdent les propriétés suivantes : a ) vitesse finie de propagation ; b ) propagation des singularités dans le cas linéaire ; c ) apparition, dans le cas non linéaire, de singularités, interaction entre deux singularités, propagation dans les intervalles entre ces événements. Les méthodes nu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-analyse-numerique/#i_29965

DIFFÉRENTIELLES ÉQUATIONS

  • Écrit par 
  • Christian COATMELEC, 
  • Maurice ROSEAU
  • , Universalis
  •  • 12 432 mots

Dans le chapitre « Méthode d'Euler »  : […] Prenons d'abord le cas d'une équation différentielle du 1 er ordre : Trouver y , fonction d'une variable x , dérivable sur [ x 0 ,  x 0  +  a ] = I, telle que, f désignant une fonction continue sur I ×  R , pour tout […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-differentielles/#i_29965

GELFOND ALEXANDRE OSSIPOVITCH (1906-1968)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 158 mots

Mathématicien russe, né à Saint-Pétersbourg et mort à Moscou. Le nom de Gelfond reste attaché à l'étude des nombres transcendants ; on lui doit aussi d'importants résultats sur l'interpolation et l'approximation des fonctions de variable complexe. Depuis 1931, Gelfond a enseigné les mathématiques à l'université de Moscou, où il a occupé successivement des chaires d'analyse, de théorie des nombres […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/alexandre-ossipovitch-gelfond/#i_29965

HAAR ALFRÉD (1885-1933)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 409 mots

Mathématicien hongrois, né à Budapest et mort à Szeged. Élève de David Hilbert à Göttingen (1905-1910), Alfred Haar, après un court passage à l'École polytechnique de Zurich, devint en 1912 professeur à l'université de Klausenburg (Kolozsvár), où enseigna F. Riesz. Lorsqu'en 1918 Klausenburg devint roumain (Cluj Napoca), Haar et Riesz partirent pour Budapest, puis furent tous les deux nommés profe […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/alfred-haar/#i_29965

LA VALLÉE-POUSSIN CHARLES JOSEPH DE (1866-1962)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 230 mots

Mathématicien belge, né à Louvain et mort à Bruxelles. Charles J. de La Vallée-Poussin enseigna à l'université de Louvain de 1891 jusqu'à sa retraite. Il fut membre de l'Académie belge (1909), membre associé étranger de l'Académie des sciences (1945), membre honoraire de la London Mathematical Society (1952), président honoraire de l'Union mathématique internationale. La Vallée-Poussin est surtout […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/charles-joseph-de-la-vallee-poussin/#i_29965

LUZIN NIKOLAÏ NIKOLAÏEVITCH (1883-1950)

  • Écrit par 
  • Jean LOUVEAUX
  •  • 846 mots

Mathématicien russe. Né à Tomsk, le 9 décembre 1883, Nikolaï Luzin poursuit ses études secondaires dans cette ville jusqu'en 1901, puis part pour Moscou étudier les mathématiques à l'université, sous la direction de D. F. Egorov. En 1906, il est à Paris où il suit les cours de la Sorbonne et du Collège de France. De retour à Moscou, il prépare une maîtrise (1910), et devient professeur assistant à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nikolai-nikolaievitch-luzin/#i_29965

NUMÉRIQUE ANALYSE

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT, 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 645 mots

Dans le chapitre « Approximation des valeurs d'une forme linéaire »  : […] Le problème de l'approximation des valeurs d'une forme linéaire est étroitement lié à celui de l'approximation des fonctions. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-numerique/#i_29965

NUMÉRIQUE CALCUL

  • Écrit par 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 5 702 mots

Dans le chapitre « Approximation des fonctions »  : […] Le problème consiste à approcher une fonction f sur un intervalle [ a b ] par des fonctions se prêtant mieux au calcul. Au xvii e siècle, on a utilisé l'interpolation par des polynômes de petit degré. Avec Newton et Leibniz apparaît l'emploi de développements en série entière. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-numerique/#i_29965

ONDELETTES

  • Écrit par 
  • Alexandre GROSSMANN, 
  • Bruno TORRESANI
  •  • 5 718 mots

Dans le chapitre « La partition de Morlet »  : […] L'analyse par ondelettes, proposée initialement par J. Morlet, plus récente (quoique l'on puisse lui trouver des origines aussi anciennes que l'analyse de Fourier à fenêtres), se fonde sur un concept quelque peu différent de celui de fréquence : le concept d'échelle. Au lieu de considérer des fonctions oscillantes placées à l'intérieur d'une fenêtre, que l'on fait ensuite coulisser le long d'un si […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ondelettes/#i_29965

OSGOOD WILLIAM FOGG (1864-1943)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 503 mots

Mathématicien américain, né à Boston et mort à Belmont (Massachusetts), William Fogg Osgood a joué un rôle important dans le développement de la recherche aux États-Unis. Osgood est entré au collège de Harvard en 1882 et, à l'exception de quelques années passées dans les universités allemandes, il y fera toute sa carrière. Au départ, il fut surtout influencé par les professeurs de physique théoriq […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/william-fogg-osgood/#i_29965

RÉSEAUX DE NEURONES

  • Écrit par 
  • Gérard DREYFUS
  •  • 5 120 mots
  •  • 7 médias

Dans le chapitre « L'approximation parcimonieuse, une propriété fondamentale des réseaux de neurones »  : […] Les réseaux de neurones non bouclés, tels que nous les avons définis plus haut, possèdent une propriété remarquable qui est à l'origine de leur intérêt pratique : ce sont des « approximateurs universels parcimonieux ». Qu'est-ce que cela signifie ? Un réseau de neurones est capable d'imiter n'importe quel processus, après ajustement de ses paramètres par apprentissage ; la propriété d'« approximat […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/reseaux-de-neurones-formels/#i_29965

TCHEBYCHEV PAFNOUTIÏ LVOVITCH (1821-1894)

  • Écrit par 
  • Georges GLAESER
  •  • 1 319 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Mécanique »  : […] Marquant un goût précoce pour la construction d'engins mécaniques et de modèles réduits, Tchebychev imagina et construisit de ses mains une machine arithmétique que l'on peut voir au Conservatoire des arts et métiers de Paris. Contrairement à ses devancières, cette machine réalise approximativement le saut brusque des chiffres des dizaines, centaines, etc., à la manière d'un taximètre. Mais deux t […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/pafnoutii-lvovitch-tchebychev/#i_29965

WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 804 mots

Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en algèbre et en théorie des nombres. Né le 5 mai 1842 à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/heinrich-martin-weber/#i_29965

Voir aussi

APPLICATION RÉGULIÈRE    APPROXIMATION    MÉTHODES DES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES    THÉORÈME D' ASCOLI    THÉORÈME DE BANACH-STEINHAUS    CALCUL DIFFÉRENTIEL & INTÉGRAL    FORMULE INTÉGRALE DE CAUCHY    PROBLÈME DE CAUCHY    CONSISTANCE analyse numérique    CONVERGENCE mathématiques    RAPIDITÉ DE CONVERGENCE    THÉORÈME DE LA CONVERGENCE DOMINÉE    CONVERGENCE EN MOYENNE    CONVERGENCE EN MOYENNE QUADRATIQUE    CONVERGENCE SIMPLE    CONVERGENCE UNIFORME    PRODUIT DE CONVOLUTION    CALCUL DES DIFFÉRENCES    THÉORÈME DE DINI    FONCTION DE DIRAC    DISCRÉTISATION mathématiques    DUALITÉ mathématiques    FONCTION EN ESCALIER    ESPACE COMPACT    ESPACE COMPLET    SÉRIE DE FOURIER    TRANSFORMATION DE FOURIER    FRACTION CONTINUÉE    THÉORÈME DE FUBINI    THÉORÈME DE HAAR    INTERPOLATION DE HERMITE    INTERPOLATION mathématiques    INTERPOLATION DE LAGRANGE    TRANSFORMATION DE LAPLACE    LIMITE INDUCTIVE    LIMITE PROJECTIVE    POLYNÔMES DE NEWTON    NORME mathématiques    NOYAU analyse mathématique    NOYAU INTÉGRAL    ÉQUATION DE POISSON    PRODUIT HERMITIEN    PROJECTEUR mathématiques    QUASI ANALYTIQUE    MESURE DE RADON    RÉPONSE IMPULSIONNELLE    REPRÉSENTATION INTÉGRALE    SÉRIES DE FONCTIONS    SÉRIES ENTIÈRES    ESPACE DE SOBOLEV    SOLUTION ÉLÉMENTAIRE    FONCTION SPLINE    STABILITÉ analyse numérique    SUITES mathématiques    SÉRIE DE TAYLOR    POLYNÔME DE TCHEBYCHEV    THÉORÈME D'APPROXIMATION DE WEIERSTRASS

Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, Jean-Louis OVAERT, « FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/representation-et-approximation-des-fonctions/