DISTRIBUTIONS, mathématiques

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Propriétés des distributions

À partir d'une application linéaire séquentiellement continue L de D dans D (opérateur dans D), on peut définir, par transposition, un opérateur linéaire L′ dans l'espace D′ des distributions :

Dérivation des distributions

Les distributions étant une généralisation de la notion de fonction régulière, essayons d'étendre aux distributions la notion de dérivation. Pour cela, analysons tout d'abord les propriétés des opérateurs de dérivation partielle pour les fonctions continûment dérivables dans un ouvert Ω de Rn.

Pour toute fonction ϕ ∈ D(Ω), on a, si T désigne à la fois une fonction continûment dérivable dans Rn et la distribution qu'elle définit :

mettant en évidence la variable xj, on peut écrire (en permutant les variables) x = (x′, xj), d'où dx = dx′ dxj, ce qui donne, par intégration par parties,

Or, l'opérateur L = − (∂/∂xj) est séquentiellement continu dans D(Ω) (cf. supra, Morphismes) ; l'opérateur transposé, noté ∂/∂xj est donc un opérateur séquentiellement continu de D′(Ω) qui prolonge la dérivation au sens usuel. Pour toute fonction ϕ de D(Ω), la j-ième dérivée partielle de la distribution T donne donc par définition :

Ainsi, par exemple, la distribution dérivée de la distribution de Dirac en α sur la droite est telle que (δ′α, ϕ) = − ϕ′(α).

Support

Si Ω′ est un ouvert contenu dans Ω, on a un morphisme naturel

qui à toute fonction ϕ ∈ D(Ω′) associe la fonction p(ϕ) obtenue en prolongeant ϕ par 0 en dehors de Ω′. L'opérateur transposé de p est l'opérateur p′ sur les distributions défini par :
p′ (T) est généralement noté TΩ′, restriction de la distribution T à l'ouvert Ω′. On dit que T est nulle sur Ω′ si TΩ′ = 0.

Si T est une distribution dans un ouvert Ω, on appelle support de T le complémentaire dans Ω de la réunion des ouverts Ω′ sur lesquels T est nulle. Par exemple, le support de la distribution de Dirac au point a de Rn est constitué du seul point a.

Produit direct

Soit Ω un ouvert de l'espace Rn de la variable x, et Ω′ un ouvert de l'espace Rp de la variable y, respectivement. Si T et U sont des fonctions continues dans Ω et Ω′ res [...]

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Pour citer l’article

Paul KRÉE, « DISTRIBUTIONS, mathématiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/distributions-mathematiques/