DISTRIBUTIONS, mathématiques

Dérivation des distributions

Les distributions étant une généralisation de la notion de fonction régulière, essayons d'étendre aux distributions la notion de dérivation. Pour cela, analysons tout d'abord les propriétés des opérateurs de dérivation partielle pour les fonctions continûment dérivables dans un ouvert Ω de Rⁿ.

Pour toute fonction ϕ ∈ D(Ω), on a, si T désigne à la fois une fonction continûment dérivable dans Rⁿ et la distribution qu'elle définit :

Or, l'opérateur L = − (∂/∂x_j) est séquentiellement continu dans D(Ω) (cf. supra, Morphismes) ; l'opérateur transposé, noté ∂/∂x_j est donc un opérateur séquentiellement continu de D′(Ω) qui prolonge la dérivation au sens usuel. Pour toute fonction ϕ de D(Ω), la j-ième dérivée partielle de la distribution T donne donc par définition :

Ainsi, par exemple, la distribution dérivée de la distribution de Dirac en α sur la droite est telle que (δ′_α, ϕ) = − ϕ′(α).

Support

Si Ω′ est un ouvert contenu dans Ω, on a un morphisme naturel

Si T est une distribution dans un ouvert Ω, on appelle support de T le complémentaire dans Ω de la réunion des ouverts Ω′ sur lesquels T est nulle. Par exemple, le support de la distribution de Dirac au point a de Rⁿ est constitué du seul point a.

Produit direct

Soit Ω un ouvert de l'espace Rⁿ de la variable x, et Ω′ un ouvert de l'espace R^p de la variable y, respectivement. Si T et U sont des fonctions continues dans Ω et Ω′ respectivement, la distribution T × U dans Ω × Ω′ définie par la fonction T(x) U(y) satisfait à :

On peut montrer que lorsque T et U sont des distributions, si on considère les intégrales comme des accouplements distributions-fonctions (abus de notation signalé plus haut), alors les expressions (1) et (2) ont un sens, sont égales, et on peut montrer que l'application qui à ϕ ∈ D(Ω × Ω′) fait correspondre (1) ou (2) est une distribution. Cette distribution, notée T × U, est appelée produit direct de T et U.

Convolution

Soit T et U deux fonctions continues et intégrables dans Rⁿ ; on appelle produit de convolution de T et U la fonction définie par la formule intégrale

La fonction T _* U ainsi définie est telle que, pour toute fonction ϕ de D(Rⁿ),

On montre que, dans certains cas, on peut donner un sens à (3) pour des distributions T et U, et définir ainsi une distribution, notée T _* U. Cela est possible, par exemple, si l'une des distributions est à support compact. Sur R, on peut également définir le produit de convolution de deux distributions S et T qui s'annulent pour t < 0.

L'intérêt pratique de la convolution est que de nombreuses opérations usuelles sont des convolutions. Par exemple, pour toute distribution T sur Rⁿ et pour tout multi-indice α :