NORMÉES ALGÈBRES

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Au point de rencontre de deux types de structures, structures algébriques et structures topologiques, les algèbres normées jouent un rôle important dans de nombreux domaines de l'analyse mathématique. Développée à partir de 1940 environ, essentiellement par des mathématiciens soviétiques (I. M. Gelfand, M. A. Naimark, D. A. Raikov, G. E. Šylov), la théorie des algèbres normées avait primitivement pour objet de placer dans un cadre abstrait et général l'étude de certaines algèbres normées particulières (en l'occurrence, les algèbres de convolution de fonctions intégrables pour une mesure de Haar d'un groupe localement compact) en isolant leurs propriétés les plus marquantes et les plus caractéristiques.

On reconnaît là le processus d'axiomatisation, qui a été si souvent utilisé en mathématiques et qui est si riche de conséquences.

Historiquement issue de l'analyse harmonique (dont l'un des principaux objets est précisément l'étude de l'algèbre de convolution des fonctions intégrables sur un groupe), la théorie des algèbres normées permit par la suite d'obtenir de nouveaux résultats aussi bien en analyse harmonique que dans d'autres branches de l'analyse (cf. analyse harmonique).

La notion d'algèbre normée

Définition

Une algèbre normée est un ensemble muni à la fois d'une structure d'espace vectoriel sur le corps des nombres complexes, d'une structure d'anneau et d'une norme (se reporter à l'article anneaux et algèbres).

Plus précisément, notons C le corps des nombres complexes. Un ensemble A est alors une algèbre normée si les conditions suivantes sont réunies :

a) On définit sur A deux lois de composition interne, addition et multiplication, qui munissent A d'une structure d'anneau ;

b) On définit une loi de composition externe, multiplication par les scalaires complexes, qui, jointe à la loi interne d'addition, munit A d'une structure d'espace vectoriel sur C ;

c) Les structures d'anneau et d'espace vectoriel sont compatibles en ce sens que, quels que soient les éléments λ de C et les éléments a et b de A, on a :

d) On définit sur A une norme, c'est-à-dire une application x ↦ ∥x∥ de A dans l'ensemble des nombres réels positifs telle que, quels que soient les éléments λ de C et les éléments a, b et c de A, on ait :

si et seulement si a = 0, élément neutre de l'addition dans A,

e) La distance déduite de la norme (la distance de deux éléments a et b étant, par définition, ∥a − b∥) munit A d'une structure d'espace complet (cf. espaces métriques, chap. 3).

Pour cette raison, les algèbres normées sont fréquemment appelées algèbres de Banach, par analogie avec les espaces vectoriels normés complets, dits espaces de Banach.

Si la multiplication interne est commutative, on parle d'algèbre normée commutative. Si la multiplication interne possède une unité, on parle d'algèbre normée unitaire.

Exemples

Indiquons trois types fondamentaux d'algèbres normées.

(1) Soit X un espace topologique, et soit A l'ensemble des fonctions continues et bornées sur X, muni des opérations usuelles et de la norme :

c'est une algèbre normée commutative unitaire. (2) Soit E un espace de Banach et soit A = L(E) l'ensemble des applications linéaires continues de E dans lui-même. L'addition et la multiplication par les scalaires sont définies de manière usuelle ; la multiplication interne est la composition des opérateurs linéaires. Quant à la norme, elle est définie par :
c'est la norme habituelle des opérateurs. A est ainsi muni d'une structure d'algèbre normée unitaire (l'unité de A est l'opérateur IE, identité de E dans E), non commutative si E est de dimension supérieure à 1.

(3) G est un groupe localement compact et μ est une mesure de Haar à gauche sur G (cf. analyse harmonique, chap. 4). Rappelons que c'est une mesure telle que l'on ait, pour toute fonction intégrable f et pour tout élément t de G,

la fonction tf, translatée de f à gauche par t étant définie par :

A est l'espace de Banach L1(μ) des fonctions μ-intégrables, muni de sa norme :

la multiplication interne est l'opération de convolution, notée « * », définie par :
formule ayant un sens « μ-presque-partout ».

On a ainsi défini une algèbre normée, commutative lorsque le groupe G est commutatif, unitaire lorsque le groupe G est muni de la topologie discrète. Cet exemple, auquel il a été fait allusion dans l'introduction, est à l'origine de toute la théorie.

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CONNES ALAIN (1947- )

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  • Jacques TITS
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Alain Connes, mathématicien français, a obtenu la médaille Fields en 1982 avec W. P. Thurston (États-Unis) et S. T. Yau (originaire de Chine, vivant aux États-Unis). Alain Connes est né le 1 er  avril 1947 à Draguignan. Ancien élève à l'École normale supérieure, il a reçu, en 1980, le prix Ampère, l'un des plus importants décernés par l'Académie des sciences. Il a été élu membre de cette académie […] Lire la suite

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Pour citer l’article

Jean-Luc SAUVAGEOT, René SPECTOR, « NORMÉES ALGÈBRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/algebres-normees/