HARMONIQUE ANALYSE

Analyse et synthèse harmoniques

Considérons une fonction f continue, de période 2π, et soit :

sa série de Fourier. L'égalité :entraîne :

Si nous appelons f_t la translatée de f par t, définie par f_t(x) = f (x − t), nous obtenons :

En considérant l'intégrale comme une limite de sommes finies, on peut dire, de manière peu précise mais imagée, que c_ne^inx (ou aussi bien e^inx lorsque c_n n'est pas nul) est limite de combinaisons linéaires de translatées de f.

Cela nous conduit à la notion d'analyse harmonique et de spectre d'une fonction. Soit E un espace vectoriel topologique de fonctions définies sur l'ensemble R des nombres réels, tel que si f ∈ E et t ∈ R, la translatée f_t appartienne à E, avec certaines conditions de continuité ; on suppose, de plus, que toute fonction exponentielle e^iλx, λ réel, appartient à E.

On dira qu'un nombre réel λ appartient au spectre d'un élément f de E si la fonction e^iλx peut être approchée, au sens de la topologie de E, par des combinaisons linéaires de translatées de f. On note σ_E(f ), spectre de f dans E, l'ensemble des tels λ (pour une fonction donnée, la notion de spectre peut dépendre de la topologie dont est muni l'espace E).

Le problème de l'analyse harmonique dans E d'une fonction f est la détermination de σ_E(f ). Le problème de la synthèse harmonique dans E de f est le suivant : f est-elle limite, dans E, de combinaisons linéaires d'exponentielles, e^iλx, avec λ ∈ σ_E(f ) ? Si la réponse est positive, on dit que f satisfait à la synthèse harmonique (ou encore que f est synthétisable) dans E.

Prenons, par exemple, pour E l'espace des fonctions continues et bornées sur R, avec la topologie de la convergence uniforme. Si f est une fonction périodique appartenant à E, le spectre de f est l'ensemble des entiers n tels que les coefficients de Fourier c_n correspondants soient non nuls ; le théorème de Fejer sur la convergence uniforme vers f des moyennes de Césaro montre que f est synthétisable dans E. Plus généralement, si f est presque-périodique, de série de Fourier :

avec c_n≠ 0, le spectre de f est l'ensemble des exposants λ_n qui figurent dans la série de Fourier de f. Pour une fonction continue et bornée quelconque, le spectre est plus difficile à déterminer en général. Il est remarquable que, dans l'espace E que nous considérons ici, les fonctions synthétisables soient exactement les fonctions presque-périodiques.

En fait, les questions les plus intéressantes concernant la synthèse harmonique se posent lorsque l'on prend pour E l'espace L^∞(R), muni de sa topologie faible d'espace dual de L¹(R) (cf. intégration et mesure). Ces problèmes, ainsi que leur généralisation au cas où l'on considère d'autres groupes que R (cf. chap. 4) sont loin d'être tous résolus et leur étude est l'un des points essentiels de l'analyse harmonique moderne.