HARMONIQUE ANALYSE

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La transformation de Fourier

Certaines classes importantes de fonctions ne se prêtent pas à l'analyse harmonique telle qu'elle a été définie ci-dessus. Ainsi, l'espace L1(R) des (classes de) fonctions intégrables sur R ne contient aucune exponentielle ; aussi utilise-t-on un autre procédé pour en faire l'analyse et la synthèse. C'est la transformation de Fourier qui permet de définir le spectre d'une fonction intégrable et, dans certains cas, d'en faire la synthèse.

Soit f une fonction intégrable (par exemple, continue et nulle hors d'un ensemble borné). À f on associe une autre fonction définie sur R, notée ou Ff, et appelée transformée de Fourier de f :

La présence du coefficient − 2π est conventionnelle (la convention n'est d'ailleurs pas universelle) et permet d'avoir une formule de réciprocité particulièrement simple.

Définissons, outre l'opérateur F de transformation de Fourier, l'opérateur F− de transformation de Fourier conjuguée (ou réciproque) :

Pour toute fonction f, et tout réel t, on a :

Propriétés de la transformation de Fourier

a) Pour toute fonction intégrable f, Ff est continue et tend vers 0 à l'infini. Si on désigne par A(R) l'ensemble des fonctions Ff, pour ∈ L1(R), A(R) est donc un sous-espace de l'espace vectoriel C0(R) des fonctions continues sur R qui tendent vers 0 à l'infini. En fait, A(R) est strictement plus petit que C0(R). b) Si f et g sont intégrables, leur produit de convolution f * g, défini par :

l'est également. On a alors la relation :
de sorte que A(R) est un anneau de fonctions continues sur R, de même que L1(R) est un anneau pour la convolution. Cette circonstance permet d'appliquer à l'étude de A(R) et de L1(R) la théorie des algèbres normées (cf. algèbres normées), qui en est d'ailleurs issue en grande partie. c) Si y et u sont des réels, ϕ une fonction, on définit les fonctions ϕy, ϕu, ϕ−, ̌ϕ, ̃ϕ par :

On a alors :

d) Si f est dérivable et si f et ′ sont intégrables, on a :
e) Si f est intégrable, ainsi que son produit par x, alors Ff est dérivable et on a :

Il est intéressant de voir comment certaines propriétés des fonctions s [...]

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Pour citer l’article

René SPECTOR, « HARMONIQUE ANALYSE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-harmonique/