HARMONIQUE ANALYSE
Les groupes commutatifs localement compacts
La mesure de Haar
La démonstration par Haar, en 1933, de l'existence d'une mesure invariante par translation, sur une large classe de groupes topologiques, permet, à partir de cette époque, de situer l'analyse harmonique dans sa vraie perspective et d'en comprendre la nature profonde.
Si on considère, sur R, la mesure de Lebesgue dx, on constate qu'elle est invariante par translation, en ce sens que, pour toute fonction intégrable f et tout réel t, la translatée ft est intégrable et a même intégrale que f. De même, sur le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1, que l'on peut, en ce qui concerne la théorie de la mesure, identifier à l'intervalle [0, 2π], la mesure de Lebesgue est invariante par translation, car, pour toute fonction intégrable f, et tout λ de module 1, on a :
Parmi les groupes topologiques, ceux qui sont localement compacts (cette classe contient, entre autres, les groupes de Lie) possèdent une propriété analogue.
Pour une fonction f définie sur un groupe G, et un élément t du groupe, on considère les translatées tf et ft de f par t, respectivement à gauche et à droite, données par :
Le théorème de Haar et l'étude des représentations linéaires des groupes topologiques forment le cadre de l'analyse harmonique abstraite.
Nous allons donner un bref aperçu de cette théorie dans le cadre des groupes commutatifs localement compacts, où elle est beaucoup plus simple et plus développée.
Le théorème de dualité de Pontriaguine et Van Kampen
Soit G un groupe commutatif localement compact ; l'opération de G est notée additivement, 0 désigne l'élément neutre.
On appelle caractère de G tout homomorphisme continu de G dans le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1. Autrement dit, un caractère est une fonction continue γ sur G, telle que, quels que soient x et y dans G :
Si γ et γ′ sont deux caractères, la fonction qui, à tout x de G, associe γ(x)γ′(x) est encore un caractère que l'on note γ + γ′. Il est facile de voir que l'on peut ainsi munir l'ensemble des caractères sur G d'une structure de groupe commutatif, que l'on rend localement compact en y considérant une topologie particulière (c'est la topologie de la convergence uniforme sur les parties compactes de G).
Notons G le groupe commutatif localement compact formé des caractères de G. Ce groupe est appelé dual de G. On peut considérer le dual de G, qui est un groupe commutatif localement compact G.
Pour tout x de G, la fonction définie sur G par γ → γ(x) est un caractère sur G, donc un élément de G. On a ainsi une application de G dans G.
Le résultat fondamental établi, vers 1935, par Pontriaguine et Van Kampen est le suivant : L'application de G dans G définie ci-dessus est un isomorphisme topologique. En d'autres termes, le dual du dual d'un groupe G s'identifie à G[...]
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Écrit par
- René SPECTOR : professeur à l'université d'Orléans
Classification
Pour citer cet article
René SPECTOR. HARMONIQUE ANALYSE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 8 527 mots
Un autre type de groupe de transformations est fourni par le cas où la variété où opère le groupe est un espace vectoriel complexe E, et où les transformations sont linéaires ; lorsqu'un groupe G agit de cette façon sur E, on dit encore qu'on a une représentation linéaire de G. -
CALCUL ET RATIONALISATION - (repères chronologiques)
- Écrit par Pierre MOUNIER-KUHN
- 725 mots
1623 L'astronome allemand Wilhelm Schickard invente une « horloge à calcul ». Mais celle-ci disparaît dans un incendie et Schickard ne poursuit pas ce projet qui n'aura donc aucune influence historique.
1637 René Descartes, dans le Discours de la méthode, définit la méthode rationnelle...
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CARLESON LENNART (1928- )
- Écrit par Universalis, Jeremy John GRAY
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Le mathématicien suédois Lennart Carleson reçut en 2006 le prix Abel « pour ses contributions profondes et déterminantes à l'analyse harmonique et à la théorie des systèmes dynamiques lisses ». Cette récompense couronne notamment les travaux effectués avec son collègue et compatriote...
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FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES
- Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
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Dans les problèmes d'analyse harmonique des phénomènes non périodiques (cf. analyse harmonique, chap. 3), on utilise la transformation de Fourier, réelle ou complexe, définie par la relation :(ou des formes analogues selon les auteurs), et la formule d'inversion :
intuitivement, la formule...
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Voir aussi
- CORDES VIBRANTES
- BERNOULLI DANIEL (1700-1782)
- CONVOLUTION PRODUIT DE
- CONVERGENCE, mathématiques
- CARACTÈRE, mathématiques
- GROUPE TOPOLOGIQUE
- HAAR MESURE DE
- FOURIER SÉRIE DE
- DUAL D'UN GROUPE
- FOURIER TRANSFORMATION DE
- GROUPE COMMUTATIF ou GROUPE ABÉLIEN
- CESARO MOYENNES DE
- BESSEL-PARSEVAL-PLANCHEREL THÉORÈME DE
- PRESQUE PÉRIODIQUE FONCTION
- SPECTRE D'UNE FONCTION
- PARSEVAL IDENTITÉ DE
- PONTRIAGUINE-VAN KAMPEN THÉORÈME DE DUALITÉ DE
- PÉRIODIQUE FONCTION
- HARMONIQUE SYNTHÈSE
- FOURIER-PLANCHEREL TRANSFORMATION DE
- FOURIER COEFFICIENTS DE
- INTÉGRABLES ESPACES DE FONCTIONS
- DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES
- FEJÉR LEOPOLD (1880-1959)
- DUALITÉ, mathématiques
- GROUPE LOCALEMENT COMPACT
