HARMONIQUE ANALYSE

Les groupes commutatifs localement compacts

La mesure de Haar

La démonstration par Haar, en 1933, de l'existence d'une mesure invariante par translation, sur une large classe de groupes topologiques, permet, à partir de cette époque, de situer l'analyse harmonique dans sa vraie perspective et d'en comprendre la nature profonde.

Si on considère, sur R, la mesure de Lebesgue dx, on constate qu'elle est invariante par translation, en ce sens que, pour toute fonction intégrable f et tout réel t, la translatée f_t est intégrable et a même intégrale que f. De même, sur le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1, que l'on peut, en ce qui concerne la théorie de la mesure, identifier à l'intervalle [0, 2π], la mesure de Lebesgue est invariante par translation, car, pour toute fonction intégrable f, et tout λ de module 1, on a :

Parmi les groupes topologiques, ceux qui sont localement compacts (cette classe contient, entre autres, les groupes de Lie) possèdent une propriété analogue.

Pour une fonction f définie sur un groupe G, et un élément t du groupe, on considère les translatées _tf et f_t de f par t, respectivement à gauche et à droite, données par :

(le groupe est noté multiplicativement). Il y a lieu de distinguer les translations à gauche et à droite si G n'est pas commutatif. Lorsque G possède la propriété de compacité locale, le théorème de Haar affirme l'existence (et l'unicité à un facteur multiplicatif près) d'une mesure invariante par les translations à gauche, c'est-à-dire telle que, pour tout t ∈ G et toute fonction intégrable f, _tf soit intégrable et de même intégrale que f. Il y a également une mesure invariante par les translations à droite, mais elle diffère en général de la mesure invariante à gauche (pour les groupes compacts, ces deux types de mesures sont identiques, de même que pour les groupes commutatifs). Une telle mesure est appelée mesure de Haar à gauche (ou à droite, selon le cas). Si μ est une mesure de Haar à gauche, f une fonction μ-intégrable et t un élément de G, on a donc :

Le théorème de Haar et l'étude des représentations linéair [...]

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