ALGÈBRE

Espaces vectoriels normés et espaces vectoriels topologiques

Un espace vectoriel normé sur le corps K des nombres réels ou des nombres complexes est un espace vectoriel E sur lequel est définie une fonction x → ∥x∥, à valeurs réelles positives, possédant les propriétés suivantes, qui généralisent celle de la longueur d'un vecteur dans les espaces de dimension finie :

a) ∥x∥ = 0 si et seulement si x = 0 ;

b) ∥x + y∥≤∥x∥ + ∥y∥, pour x, y quelconques dans E ;

c) ∥a.x∥ = |a| ∥x∥, pour a dans K et x dans E. (|a| est ici la valeur absolue ou le module du nombre réel ou complexe a).

La considération d'espaces « fonctionnels » (c'est-à-dire d'espaces vectoriels dont les éléments sont des fonctions) munis d'une norme convenable est devenue un des outils essentiel de l'analyse contemporaine.

La théorie des espaces vectoriels normés s'est constituée de 1900 à 1930 approximativement et ici encore l' espace de Hilbert a joué un rôle historique considérable. Hilbert, au début du xx^e siècle, fut amené à introduire deux notions de convergence différentes sur l'espace des suites (x_n) de nombres réels tels que la série x²_n soit convergente et étudie la continuité de nombreuses applications linéaires. Quelques années plus tard, vers 1907-1908, Schmidt, Fréchet et Riesz généralisent le langage de la géométrie des espaces de dimension finie à l'espace de Hilbert et introduisent la norme dans ce cas particulier ; la notion d'espace vectoriel normé général apparaît alors vers 1920 dans les travaux de Hahn et de Banach.

Un des aspects essentiels des problèmes sur les espaces vectoriels normés est la théorie de la dualité topologique qui occupe déjà une place centrale dans les travaux de F. Riesz sur les espaces de fonctions intégrables. À partir de 1927, Hahn et Banach abordent de manière générale le problème de la dualité en montrant qu'on peut munir le dual d'un espace normé d'une structure d'espace normé (complet) ; itérant cette construction, Hahn pourra poser de manière générale le problème des espaces réflexifs, i. e. qui sont isomorphes à leur bidual topologique. Vers 1932, la théorie des espaces normés est à peu près achevée avec le livre de Banach, Théorie des opérations linéaires.

Une notion telle que la convergence simple d'une suite de fonctions dans un espace fonctionnel n'est pas associée à une norme, et il était nécessaire de considérer sur des espaces vectoriels des notions de convergence plus générales que celles définies par des normes, situation étudiée pour la première fois par Fréchet. Mais, sans hypothèse restrictive, la théorie générale était trop pauvre ; la notion essentielle qui allait permettre à la théorie de s'épanouir est la convexité, étudiée par Banach et ses élèves, conduisant von Neumann en 1935 à définir les espaces localement convexes. Des branches essentielles des mathématiques contemporaines, la théorie des distributions par exemple, utilisent de manière constante[...]