ALGÈBRE

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Les origines de l'algèbre commutative

Corps et anneaux

L'étude des corps et des anneaux trouve son origine dans les travaux de l'école allemande du xixe siècle, principalement ceux de Kummer, Kronecker, Dedekind et Hilbert. Au départ, les motivations sont ici essentiellement la théorie des équations puis la théorie arithmétique des nombres algébriques, qui découle de recherches relatives au théorème de Fermat ; plus tardivement, et jusqu'à l'époque contemporaine, la géométrie algébrique a été également une source d'idées essentielles.

La notion d'anneau dégage sous forme abstraite les analogies constatées par exemple dans le maniement des nombres entiers relatifs et des polynômes : un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition internes :

appelées addition et multiplication respectivement, telles que la première soit une loi de groupe abélien et que la seconde soit associative (i.e. (xy)z = x(yz)) ; on impose de plus les conditions suivantes de distributivité entre les deux lois :
pour x, y, z quelconques dans l'anneau. Il est commode de supposer l'existence d'un élément unité pour la multiplication. Lorsque, comme dans le cas des nombres rationnels par exemple, l'ensemble des éléments distincts de l'élément neutre pour la première loi (noté 0) est un groupe pour la seconde loi, on dit que l'anneau est un corps. Ici on considérera seulement le cas où la multiplication est commutative, en renvoyant à la fin du chapitre 3 le cas non commutatif.

La théorie des corps

Les premiers exemples de corps non triviaux ont été introduits par la théorie des équations. Les travaux de Gauss avaient familiarisé les mathématiciens avec le maniement des nombres complexes et Abel, puis Galois, dégagent l'idée d'adjonction : ils considèrent les corps engendrés par les racines ou les coefficients (indéterminés) d'une équation mais, en fait, si ces auteurs définissent avec précision l'appartenance d'une quantité à un tel corps, ils ne considèrent pas explicitement l'ensemble ainsi constitué. Il faut attendre Dedekind (qui introduit le mot corps) pour une étude systématique de certa [...]

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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « ALGÈBRE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 31 juillet 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre/