HILBERT ESPACE DE
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La théorie des espaces hilbertiens trouve son origine dans celle des développements de fonctions arbitraires en séries de fonctions orthogonales, lesquelles apparaissent le plus souvent comme fonctions propres de certains opérateurs différentiels linéaires (séries de Fourier, fonctions sphériques, théorie des oscillations de Sturm-Liouville). À l'occasion de l'étude des équations intégrales, ébauchées par V. Volterra, I. Fredholm et E. Schmidt, Hilbert définit l'espace l2 des suites de carré sommable, et résout les principaux problèmes posés en interprétant les équations en termes d'endomorphismes de l'espace l2. E. Schmidt, M. Fréchet et F. Riesz donnent ensuite une forme plus géométrique à la théorie de Hilbert, en introduisant le langage des normes, de l'orthogonalité et des bases hilbertiennes, et découvrent que de nombreux espaces fonctionnels classiques sont isomorphes à l2, ou à des sous-espaces vectoriels de cet espace. Dès lors s'impose une présentation axiomatique des espaces préhilbertiens et hilbertiens ; elle est essentiellement due à J. von Neumann et à F. Riesz ; le lecteur la trouvera esquissée ci-dessous. Enfin, ces derniers approfondissent considérablement l'étude des endomorphismes des espaces hilbertiens, et créent ainsi un des outils les plus puissants de l'analyse fonctionnelle et de la physique mathématique.
Nous supposons connus les notions fondamentales de l'algèbre linéaire (cf. algèbre linéaire), le langage des normes et semi-normes, et la notion de famille sommable.
Généralités
Espaces préhilbertiens
On appelle espace vectoriel préhilbertien (complexe) un espace vectoriel sur le corps C des nombres complexes, muni d'une forme sesquilinéaire auto-adjointe dont la forme hermitienne associée est positive, c'est-à-dire d'une application de E × E dans C, notée (x, y) ↦ (x|y), satisfaisant aux conditions suivantes :
– pour tout élément y de E, l'application x ↦ (x|y) est linéaire ;
– pour tout couple (x, y) d'éléments de E, (y|x) =
– pour to [...]
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Écrit par :
- Lucien CHAMBADAL : ancien élève de l'École normale supérieure, agrégé de l'Université, professeur au lycée Buffon, Paris
- Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
Classification
Autres références
« HILBERT ESPACE DE » est également traité dans :
ALGÈBRE
Dans le chapitre « Espaces vectoriels normés et espaces vectoriels topologiques » : […] Un espace vectoriel normé sur le corps K des nombres réels ou des nombres complexes est un espace vectoriel E sur lequel est définie une fonction x → ∥ x ∥, à valeurs réelles positives, possédant les propriétés suivantes, qui généralisent celle de la longueur d'un vecteur dans les espaces de dimension finie : a ) ∥ x ∥ = 0 si et seulement si x = 0 ; b ) ∥ x + y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥, pour x , y que […] Lire la suite
ANALYSE MATHÉMATIQUE
Dans le chapitre « Théorie spectrale et analyse fonctionnelle » : […] On sait qu'un problème célèbre de mécanique consiste à déterminer les « petites oscillations » au voisinage d'une position d'équilibre d'un système formé d'un nombre fini de solides, donc « à un nombre fini de degrés de liberté » (ce qui signifie que l'état du système est entièrement connu par la donnée d'un nombre fini de paramètres réels q j (1 ≤ j ≤ n ) qui varient en fonction du temps t ). […] Lire la suite
ERGODIQUE THÉORIE
Dans le chapitre « Les théorèmes de G. D. Birkhoff et de J. von Neumann » : […] On va maintenant formaliser le problème ergodique. On se donne un espace compact Ω et une mesure de Radon positive m sur Ω (cf. intégration et mesure ; on peut se placer dans des situations plus générales, mais on n'a pas jugé utile de le faire ici), qui est aussi une probabilité m (Ω) = 1 (cf. calcul des probabilités ). On se donne aussi une transformation mesurable θ : Ω → Ω et on suppose que […] Lire la suite
GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes
Dans le chapitre « Les généralisations » : […] La théorie classique, exposée ci-dessus, a été au fil des années généralisée de plusieurs façons. L'une d'elles consiste à remplacer le corps C des nombres complexes par un autre corps K. Si le corps K est de caractéristique zéro, ou p (l'entier p étant un nombre premier qui ne divise pas l'ordre fini |G| de G), la théorie des représentations linéaires de G sur les espaces vectoriels de dimension […] Lire la suite
HARMONIQUE ANALYSE
Dans le chapitre « Transformation de Fourier-Plancherel dans L2 (R) » : […] Les espaces L 1 ( R ) et L 2 ( R ) ne sont pas inclus l'un dans l'autre. Mais ils contiennent tous deux l'ensemble K( R ) des fonctions continues nulles hors d'un ensemble borné, et tout élément de L 1 ( R ) ou de L 2 ( R ) peut être approché, au sens de L 1 ou de L 2 selon le cas, par des éléments de K( R ). Si f appartient à K( R ), F f appartient à L 2 ( R ), et on a l'égalité : formellemen […] Lire la suite
HILBERT DAVID (1862-1943)
Dans le chapitre « Analyse mathématique » : […] À la fin du xix e siècle, deux problèmes, d'origine physique, étaient au cœur des préoccupations des analystes : le problème de Dirichlet (cf. équations intégrales , chap. 1, et théorie du potentiel ) et l'étude des oscillations d'un corps élastique (cf. analyse mathématique , chap. 6), en liaison avec le développement de la fonction oscillatoire en série de fonctions des oscillations propres (c […] Lire la suite
NORMÉES ALGÈBRES
Dans le chapitre « Les C*-algèbres » : […] Parmi les algèbres normées, on distingue celles dont les propriétés particulières permettent une analyse spectrale plus poussée. On appelle C*-algèbre une algèbre de Banach A vérifiant les deux propriétés suivantes : (I) elle est munie d'une involution , c'est-à-dire d'une application a → a * de A dans A telle que l'on ait, quels que soient a et b dans A et λ complexe : λ étant le nombre complex […] Lire la suite
NORMÉS ESPACES VECTORIELS
Dans le chapitre « La complémentation » : […] Soit E ⊕ F une décomposition en somme directe algébrique de l'espace de Banach X. E et F étant munis des topologies induites par celle de X, et E ⊕ F de la topologie produit, nous dirons que E ⊕ F est une décomposition en somme directe topologique si l'application est un homéomorphisme. En utilisant le théorème de l'application ouverte, on montre que pour qu'une décomposition en somme directe E ⊕ […] Lire la suite
ORTHOGONAUX POLYNÔMES
Dans le chapitre « Équation intégrale de Fredholm » : […] Soit E un ensemble muni d'une mesure positive μ et k une fonction de carré intégrable sur E × E. Pour toute fonction f de carré intégrable sur E et pour presque tout élément x de E, la fonction y ↦ k ( x , y ) f ( y ) est intégrable sur E et la fonction g , définie presque partout par la formule : est de carré intégrable sur E. L'application U k , dite associée au noyau k , qui à tout élémen […] Lire la suite
RIESZ FRÉDÉRIC (1880-1956)
Dans le chapitre « Espaces fonctionnels » : […] David Hilbert (cf. espace de hilbert ) avait montré que l'espace l 2 des suites numériques c = ( c 1 , c 2 , ...) de carré sommable, muni de la norme : et de la distance : est un espace vectoriel métrique complet (c'est-à-dire vérifiant la condition de Cauchy pour la convergence). Frédéric Riesz et Ernst Fischer ont démontré, en 1907, indépendamment l'un de l'autre, que l'espace L 2 ([ a , b ]) […] Lire la suite
Voir aussi
Pour citer l’article
Lucien CHAMBADAL, Jean-Louis OVAERT, « HILBERT ESPACE DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 octobre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/espace-de-hilbert/