HILBERT ESPACE DE

La théorie des espaces hilbertiens trouve son origine dans celle des développements de fonctions arbitraires en séries de fonctions orthogonales, lesquelles apparaissent le plus souvent comme fonctions propres de certains opérateurs différentiels linéaires (séries de Fourier, fonctions sphériques, théorie des oscillations de Sturm-Liouville). À l'occasion de l'étude des équations intégrales, ébauchées par V. Volterra, I. Fredholm et E. Schmidt, Hilbert définit l'espace l² des suites de carré sommable, et résout les principaux problèmes posés en interprétant les équations en termes d'endomorphismes de l'espace l². E. Schmidt, M. Fréchet et F. Riesz donnent ensuite une forme plus géométrique à la théorie de Hilbert, en introduisant le langage des normes, de l'orthogonalité et des bases hilbertiennes, et découvrent que de nombreux espaces fonctionnels classiques sont isomorphes à l², ou à des sous-espaces vectoriels de cet espace. Dès lors s'impose une présentation axiomatique des espaces préhilbertiens et hilbertiens ; elle est essentiellement due à J. von Neumann et à F. Riesz ; le lecteur la trouvera esquissée ci-dessous. Enfin, ces derniers approfondissent considérablement l'étude des endomorphismes des espaces hilbertiens, et créent ainsi un des outils les plus puissants de l'analyse fonctionnelle et de la physique mathématique.

Nous supposons connus les notions fondamentales de l'algèbre linéaire (cf. algèbre linéaire), le langage des normes et semi-normes, et la notion de famille sommable.

Généralités

Espaces préhilbertiens

On appelle espace vectoriel préhilbertien (complexe) un espace vectoriel sur le corps C des nombres complexes, muni d'une forme sesquilinéaire auto-adjointe dont la forme hermitienne associée est positive, c'est-à-dire d'une application de E × E dans C, notée (x, y) ↦ (x|y), satisfaisant aux conditions suivantes :

– pour tout élément y de E, l'application x ↦ (x|y) est linéaire ;

– pour tout couple (x, y) d'éléments de E, (y|x) = (x|y) ;

– pour tout élément x de E, (x|x) ≥ 0.

Le scalaire (x|y) s'appelle produit hermitien des vecteurs x et y.

On dit que l'espace vectoriel E est préhilbertien séparé, ou hermitien, si la forme, hermitienne considérée est définie positive, c'est-à-dire si la relation (x | x) = 0 implique la relation x = 0.

Théorème 1. Pour tout couple (x, y) d'éléments d'un espace préhilbertien E :

(inégalité de Schwarz).

Écartons le cas où l'un des deux vecteurs x et y est nul. Écrivons que, pour tout nombre réel α et pour tout nombre complexe β de module 1, le nombre réel :

ou encore :par suite, le discriminant de ce trinôme du second degré en α est négatif ou nul pour tout nombre complexe β de module 1,

L'inégalité cherchée étant évidente lorsque (x|y) = 0, écartons ce cas. Nous obtenons alors l'inégalité de Schwarz en posant :

Lorsque l'espace vectoriel E est hermitien, on montre qu'il y a égalité dans l'inégalité de Schwarz si et seulement si les vecteurs x et y sont colinéaires.

Théorème 2. Soit E un espace vectoriel préhilbertien. L'application qui à tout vecteur x de E associe le nombre réel positif ∥x∥ = (x|x)^1/2 est une semi-norme sur E, dite associée à la forme sesquilinéaire (x, y) ↦ (x|y).

En effet, pour tout nombre complexe α, ∥αx∥ = |α| . ∥x∥. Pour tout couple (x, y) de vecteurs de E :

D'autre part :L'inégalité triangulaire :découle des relations (1) et (2), de la relation Re(x|y) ≤ |(x|y)| et de l'inégalité de Schwarz.

La semi-norme précédente est une norme si et seulement si l'espace vectoriel E est hermitien. Le nombre réel positif ∥x∥ s'appelle alors norme hermitienne du vecteur x, et le nombre ∥x − y∥ distance hermitienne des points x et y. Un vecteur de norme 1 est dit unitaire. Dans ces conditions, il y a égalité dans l'inégalité triangulaire si et seulement si les vecteurs x et y sont colinéaires et de même sens, c'est-à-dire s'il existe un couple (α, β) de nombre réels positifs non tous deux nuls tel que αx = βy.

Espaces hilbertiens

En algèbre, on utilise surtout les espaces hermitiens de dimension finie. En analyse, ce sont les espaces hermitiens de dimension infinie qui interviennent dans la plupart des questions ; on est amené à supposer que ces espaces sont complets, c'est-à-dire que toute suite de Cauchy est convergente. Un espace hermitien complet est dit hilbertien. Tout espace hermitien de dimension finie est hilbertien.

Voici deux [...]

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