ALGÈBRE

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L'algèbre linéaire et les origines de l'algèbre non commutative

Structures linéaires

L'étude des équations et systèmes d'équations du premier degré était reléguée au début du xixe siècle dans l'enseignement élémentaire et négligée des mathématiciens, lorsqu'une axiomatisation convenable montra la puissance des notions nouvelles ainsi mises en évidence. Sous sa forme actuelle, l'algèbre linéaire est une remarquable synthèse conduisant à un vocabulaire et à des résultats qui s'appliquent presque universellement dans tous les domaines des mathématiques et de la physique contemporaine, tandis que le processus de « linéarisation » apparaît comme essentiel dans de nombreuses branches des mathématiques pures et appliquées. La notion fondamentale est ici celle d'espace vectoriel ; elle généralise les propriétés de l'ensemble des vecteurs de notre espace à trois dimensions. Un espace vectoriel E sur un corps K est un ensemble d'éléments, appelés « vecteurs », muni d'une loi de groupe abélien notée additivement et d'une loi externe qui à tout couple (ax) d'un élément a du corps K et d'un vecteur x de E fait correspondre un vecteur a.x de E de telle sorte que l'on ait :

Les applications d'un tel espace vectoriel E dans un autre qui respectent la structure d'espace vectoriel, i.e. telles que :

pour a dans K et x, y dans E, sont dites linéaires.

Une algèbre E sur un corps K est un K-espace vectoriel E muni d'un « produit » qui est une loi E × E → E linéaire par rapport à chaque facteur (on dit bilinéaire). Si cette loi est associative, et admet un élément unité, on a une structure d'anneau.

Par exemple, les nombres complexes forment une algèbre sur le corps des nombres réels.

Espaces de dimension finie

La représentation géométrique des nombres complexes introduite par Argand l'avait amené implicitement à définir l'addition des vecteurs du plan ; plus généralement, la nécessité d'un calcul de nature « géométrique », ou « intrinsèque » (i.e. indépendant du choix du système d'axes de coordonnées), allait conduire Grassmann, Möbius et Hamilton à dégager durant la première moitié du xixe siècle, les règles du calcul vectoriel et, presque simultanément, à généraliser les propriétés de l'espace « usuel » à deux ou trois dimensions en introduisant des espaces de dimension supérieure. Ces derniers apparaissent tout d'abord comme un langage géométrique commode pour interpréter des résultats algébriques valables sans modification pour un nombre quelconque de variables et susceptibles d'une interprétation géométrique dans le cas de deux ou trois variables. Grassmann définit, de manière déjà presque axiomatique, les espaces à n dimensions, l'addition des vecteurs, l'indépendance d'un système de vecteurs, étudie la dimension des sous-espaces vectoriels, sans recours aux coordonnées, et construit l'algèbre extérieure d'un espace vectoriel. Dans ce cadre allait s'insérer tout naturellement l'étude générale des systèmes d'équations linéaires : la notion de rang d'un tel système est dégagée par Frobenius et les résultats généraux sont obtenus par Kronecker ; en liaison avec ces préoccupations, Kronecker et Weierstrass donneront une définition axiomatique des déterminants, déjà connus depuis le xviiie siècle et que Grassmann avait rattachés à son calcul extérieur. Les concepts généraux d'algèbre linéaire et multilinéaire relatifs aux espaces vectoriels de dimension finie sont précisés rapidement et on assiste successivement à l'élaboration du calcul matriciel par Cayley et à l'introduction du produit tensoriel par Kronecker ; cependant tous les travaux des mathématiciens de cette époque restent truffés d'hallucinants calculs où les déterminants jouent un rôle essentiel et le caractère intrinsèque des éléments qui interviennent est souvent peu visible.

En liaison avec le renouveau de la géométrie, la notion de dualité se dégage peu à peu pour les espaces vectoriels, mettant en évidence la notion de variables « cogrédientes » ou « contragrédientes », c'est-à-dire variant dans un espace vectoriel ou dans l'espace vectoriel dual. L'étude des coniques et des quadriques, ainsi que de nombreuses recherches arithmétiques avaient mis en vedette les formes quadratiques à 2, 3 puis n variables et les formes bilinéaires qui leur sont associées ; la théorie des invariants, créée par Cayley, Hermite et Sylvester, introduit systématiquement des formes multilinéaires à plusieurs séries [...]

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  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « ALGÈBRE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 janvier 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre/