DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire
Solutions élémentaires et paramétrix
On dit qu'une distribution de deux variables E est un noyau élémentaire de P si elle vérifie la relation :
Nous avons déjà rencontré un tel noyau (cf. chap. 3 L'équation de la chaleur et le type parabolique in équations aux dérivées partielles - Sources et applications, à propos du mouvement brownien). En effet les formules (20) et (21) de cet article montrent que le noyau :
Le plus ancien exemple de noyau élémentaire connu est sans aucun doute celui du potentiel coulombien − 1/4π∥y − z∥, noyau élémentaire de l'opérateur de Laplace en dimension 3.
Opérateurs à coefficients constants et convolution
Un opérateur différentiel à coefficients constants est un opérateur de convolution puisqu'il commute avec les translations. Plus précisément :
Les noyaux élémentaires les plus commodes s'écrivent alors eux aussi comme noyaux de convolution E(y − z), où E, qui ne dépend plus que d'une variable dans Rn+1, est une solution élémentaire, c'est-à-dire qu'elle vérifie :
L'utilisation systématique de ce point de vue est un des traits caractéristiques du développement qu'a connu l'étude des équations aux dérivées partielles dans les années 1950 sous l'impulsion de la théorie des distributions. En particulier, Malgrange a démontré en 1953 que tout opérateur différentiel à coefficients constants non nul avait une solution élémentaire.
Solution élémentaire et hypoellipticité
Si P est un opérateur à coefficients constants hypoelliptique, ses solutions élémentaires doivent évidemment être indéfiniment différentiables en dehors de l'origine. Mais la réciproque est aussi vraie comme on va le voir. Il faut savoir que si T est une distribution indéfiniment différentiable en dehors de l'origine, alors, pour toute distribution f, le produit de convolution T * f est indéfiniment différentiable sur tout ouvert où f l'est, pourvu qu'une au moins de ces deux distributions soit à support compact. Supposons donc que P ait une solution élémentaire E indéfiniment différentiable en dehors de l'origine, et soit ϕ une fonction indéfiniment différentiable à support compact qui vaut 1 sur un voisinage de l'origine. Posons :
Il est facile de s'assurer que :
La distribution F utilisée dans cette démonstration est ce qu'on appelle une paramétrix. Le terme n'a pas de définition mathématique précise et universellement admise. Il signifie que PF est la distribution de Dirac plus « quelque chose de pas méchant », cette dernière expression désignant en général une fonction assez régulière.
Le résultat que nous venons de donner et sa démonstration s'étendent aux opérateurs à coefficients variables moyennant des complications techniques assez sérieuses.
Solution élémentaire et hyperbolicité
On se souvient que la formulation du problème de Cauchy en théorie des distributions amène à étudier l'équation aux dérivées partielles en supposant que second membre et solution ont leur support[...]
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Écrit par
- Martin ZERNER : professeur à l'université de Nice
Classification
Pour citer cet article
Martin ZERNER. DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
-
ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 8 527 mots
...problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviiie siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équations auxdérivées partielles, qui apparaissent aussi par ailleurs dans les problèmes de la naissante théorie des surfaces. -
CAFFARELLI LUIS (1948- )
- Écrit par Bernard PIRE
- 1 254 mots
- 1 média
Le mathématicien argentino-américain Luis Caffarelli a reçu le prix Abel – l'équivalent du prix Nobel pour les mathématiques – en 2023, pour « ses contributions essentielles à la théorie des régularités des équations aux dérivées partielles non linéaires ».
-
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
- Écrit par René TATON
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- 3 médias
En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart... -
CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 1 402 mots
...pures et appliquées. Si son œuvre en astronomie et en optique est secondaire, il est un des fondateurs de la théorie mathématique de l'élasticité. En analyse, il introduit la notion fondamentale de caractéristique dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, et il avait... - Afficher les 34 références
Voir aussi
- CONVOLUTION PRODUIT DE
- ÉQUATION LINÉAIRE
- DIRICHLET PROBLÈME DE
- FOURIER TRANSFORMATION DE
- GÉODÉSIQUES
- NOYAU, analyse mathématique
- HELMHOLTZ ÉQUATION DE
- CARACTÉRISTIQUES COURBES ou SURFACES
- CAUCHY PROBLÈME DE
- OPÉRATEUR DIFFÉRENTIEL
- GREEN NOYAU DE
- PSEUDO-DIFFÉRENTIEL OPÉRATEUR
- VECTEURS CHAMP DE
- GRADIENT
- VALEUR PROPRE
- COURBES BICARACTÉRISTIQUES
- CAUCHY-KOWALEVSKI THÉORÈME DE
- HYPERBOLIQUE TYPE
- ELLIPTIQUE TYPE
- HOLMGREN THÉORÈME DE
- OPÉRATEUR HYPOELLIPTIQUE
- FOURIER OPÉRATEURS INTÉGRAUX DE
- ONDES ÉQUATION DES
- PARABOLIQUE TYPE
- PLANCHEREL THÉORÈME DE
- SOBOLEV ESPACE DE
- SOLUTION ÉLÉMENTAIRE
