DIRICHLET PROBLÈME DE

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• DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Analyse numérique

  • Écrit par Claude BARDOS, Martin ZERNER
  • 5 849 mots
  • 7 médias
  Pour fixer les idées, considérons le problème de Dirichlet et prenons h₁ = h₂ = h. Le système qui détermine les valeurs approchées de la solution est :

  

• DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Sources et applications

  • Écrit par Martin ZERNER
  • 6 220 mots
  • 1 média
  – Le problème de Dirichlet : « Trouver u vérifiant (6) sur Ω et dont la restriction à Γ est donnée. »

• DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

  • Écrit par Martin ZERNER
  • 5 367 mots
  Soit A un opérateur elliptique du second ordre ; pour étudier le problème de Dirichlet, restreignons-le aux fonctions qui s'annulent sur la frontière d'un ouvert borné Ω ; on obtient ainsi un opérateur auto-adjoint dans L²(Ω) et cet opérateur est anticompact, c'est-à-dire que si un...

• DIRICHLET PETER GUSTAV LEJEUNE- (1805-1859)

  • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
  • 1 139 mots
  ... l'intégrale de Dirichlet :

  

  pour prouver l'unicité de la distribution de masses ayant un potentiel donné, inaugurant ainsi ce que, depuis Riemann, on appelle encore aujourd'hui le problème de Dirichlet pour les équations aux dérivées partielles elliptiques et leur généralisations.

• HILBERT DAVID (1862-1943)

  • Écrit par Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
  • 14 726 mots
  • 1 média
  Le problème de Dirichlet est la recherche, pour un ouvert borné Δ, d'une fonction u, continue sur la réunion de Δ et de sa frontière Γ, harmonique dans l'ouvert Δ, dont la restriction à Γ soit une fonction continue f donnée à l'avance. P. G. Lejeune-Dirichlet avait conjecturé (« principe...

• INTÉGRALES ÉQUATIONS

  • Écrit par Universalis, Michel HERVÉ
  • 2 459 mots
  Le problème de Dirichlet, dans un ouvert borné Δ de R^m, pour une fonction continue f donnée sur la frontière Γ de Δ, consiste à trouver la fonction, unique d'après le principe du maximum, continue sur :

  

  harmonique sur Δ, qui coïncide avec f sur Γ. En 1877, C. G.  Neumann proposait la...

• OPTIMISATION & CONTRÔLE

  • Écrit par Ivar EKELAND
  • 5 098 mots
  • 2 médias
  ...elliptiques essentiellement) où l'on peut ramener la résolution d'une équation aux dérivées partielles à un problème d'optimisation. Le cas classique est le problème de Dirichlet (avec N = 1) :

  

  qui se ramène à la minimisation de l'intégrale :

  

  où, pour chaque t fixé, F(t, () est une primitive...

• POINCARÉ HENRI (1854-1912)

  • Écrit par Gérard BESSON, Christian HOUZEL, Michel PATY
  • 6 137 mots
  • 2 médias
  ...Laplace...), montrant l'existence de ces fonctions, calculant les coefficients des séries, démontrant leur convergence. Il reprit de manière systématique le «  problème de Dirichlet », étudié par Riemann et d'autres, qui apparaît dans de nombreuses situations de physique mathématique, et qui « consiste à déterminer...

• POTENTIEL THÉORIE DU

  • Écrit par Arnaud de la PRADELLE
  • 6 139 mots
  La formule de Poisson permet de résoudre le problème de Dirichlet dans le cas de la boule : Si f est une fonction donnée finie continue sur ∂B, alors I_f^B est un prolongement continu de f dans B−, harmonique dans B.

• PROBABILITÉS CALCUL DES

  • Écrit par Daniel DUGUÉ
  • 11 838 mots
  • 6 médias
  ...valeur d'une fonction harmonique à l'intérieur de Γ et prendra la valeur 1 sur γ₁ et la valeur 0 sur γ₂. On est donc ramené à résoudre un problème de Dirichlet particulier. La valeur P(x₀, y₀) est ce que l'on nomme en théorie des fonctions la mesure de Nevanlinna de l'arc γ₁ sur le contour...

• RIEMANN BERNHARD (1826-1866)

  • Écrit par Michel HERVÉ
  • 3 000 mots
  ...discontinues en des points isolés, qui prennent des valeurs données sur la frontière de D et dont le gradient est de carré intégrable sur D, il y en a une et une seule rendant minimale l'intégrale du carré du gradient, et cette fonction est harmonique sur D, donc résout le problème de Dirichlet au sens strict.

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