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ANALYSE MATHÉMATIQUE

L'analyse mathématique est le développement des notions et résultats fondamentaux du calcul infinitésimal. Ce dernier s'était déjà considérablement enrichi et diversifié entre les mains des mathématiciens du xviiie siècle, avant tout Euler et Lagrange. À partir de 1800, cette diversification s'accentue encore et s'accompagne d'un nouvel état d'esprit. Nous allons essayer, dans cet article, de donner une vue d'ensemble de cette évolution au cours du xixe siècle et au début du xxe siècle, en renvoyant pour les détails aux articles spécialisés.

Il est difficile de décrire en une phrase l'« analyse moderne », aboutissement de cette évolution ; en la prenant dans son acception la plus large, on peut dire que l'on fait de l'analyse lorsqu'on calcule sur les notions de limite ou de continuité ; il y a donc fort peu de parties des mathématiques où l'analyse n'intervienne sous une forme ou une autre.

Mais ce qui distingue l'analyse mathématique actuelle, c'est, d'une part, qu'au lieu de limiter les domaines décrits par les « variables » et les valeurs des fonctions à des ouverts dans les espaces Rn elle peut envisager le cas où ces domaines sont des variétés différentielles quelconques ; et, d'autre part, qu'elle s'appuie dans une large mesure sur les résultats généraux d'algèbre et de topologie qui forment l'armature de la théorie des espaces fonctionnels.

1.  La théorie des fonctions analytiques

La notion de fonction remonte au xviie siècle ; mais jusque vers 1800, on admettait généralement qu'une fonction d'une variable réelle, définie dans un intervalle, était indéfiniment dérivable, sauf en un nombre fini de points exceptionnels. On peut, pour une telle fonction, et pour tout point non exceptionnel x0, former la série de Taylor de au point x0 :

et comme les idées sur la convergence des séries étaient restées des plus floues, on admettait que la fonction « était » sa série de […]

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Pour citer cet article

Jean DIEUDONNÉ, « ANALYSE MATHÉMATIQUE  », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le  . URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/

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ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

…  nouveaux types d'équations, appelées de nos jours équations abéliennes, possédant cette propriété. *Avec le mémoire intitulé Recherches sur les fonctions elliptiques (1827), Abel crée, à peu près simultanément avec Jacobi, mais indépendamment de lui, une branche nouvelle de l'analyse mathématique, la théorie des fonctions elliptiques, et… Lire la suite
BESICOVITCH ABRAM SAMOILOVITCH (1891-1970)

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien russe ayant effectué la plus grande part de ses recherches à Cambridge (Royaume-Uni), spécialiste de la théorie des fonctions. Né le 24 janvier 1891 à Berdyansk (Russie), Abram Samoilovitch Besicovitch est le fils d'un joaillier devenu caissier à la suite du cambriolage de sa boutique. Extrêmement doué en mathématiques dès son plus… Lire la suite
BOLZANO BERNARD (1781-1848)

Écrit par :  Jan SEBESTIK

Dans le chapitre "Premiers travaux scientifiques"  : …  mathématique de Bolzano est consacré à la « démonstration » du postulat des parallèles d'Euclide.* Plus importants sont ses mémoires d'analyse de 1816-1817, dont les préfaces esquissent le programme d'une « transformation totale des sciences a priori » et qui, en particulier, l'engagent dans la réforme des fondements du calcul infinitésimal.… Lire la suite
BOURGAIN JEAN (1954- )

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien belge, lauréat de la médaille Fields en 1994 pour ses travaux en analyse. Né le 28 février 1954 à Ostende (Belgique), Jean Bourgain fait ses études supérieures à l'université libre de Bruxelles, où il soutient sa thèse de doctorat en 1977. Boursier de recherche puis professeur à Bruxelles jusqu'en 1985, il devient ensuite… Lire la suite
CANTOR GEORG (1845-1918)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

…  une possibilité de variation de certaines quantités finies. À l'occasion de recherches fines d'*analyse, Cantor étudia et compara directement des ensembles infinis, introduisant à cet effet de nouveaux concepts qui constituaient une véritable arithmétique de l'infini : outil puissant mais qui, sous sa forme initiale, soulevait de nombreuses… Lire la suite
CARLEMAN TORSTEN (1892-1949)

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Avant d'enseigner, Carleman travailla à l'université d'Upsal (où il il fit ses études supérieures) et publia une trentaine d'articles mathématiques traitant de la théorie des fonctions d'une variable réelle ou complexe et de la théorie des équations intégrales ; parmi ces œuvres, les plus connues sont : Sur les équations singulières à noyauLire la suite
CARTWRIGHT MARY LUCY (1900-1998)

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicienne britannique spécialiste de l'analyse complexe et des équations différentielles. Née le 17 décembre 1900 à Aynho dans le Northamptonshire (Royaume-Uni), Mary Lucy Cartwright est la fille d'un pasteur de l'Église anglicane. Admise en octobre 1919 au collège Saint Hugh de l'université d'Oxford pour y étudier les mathématiques, elle en… Lire la suite
CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

…  universel que Gauss, Dirichlet, Abel ou Galois, Cauchy a cependant été le maître incontesté de l'*analyse dans la première moitié du xixe siècle, et son œuvre a marqué un tournant dans l'histoire des mathématiques.  Parisien de naissance, Augustin-Louis Cauchy est remarqué pour sa précocité par Lagrange et Laplace, amis… Lire la suite
CONNES ALAIN (1947- )

Écrit par :  Jacques TITS

…  il s'occupe, on est frappé par l'ubiquité de ses talents : il joint à une intuition infaillible *d'analyste – les propriétés des espaces de dimension infinie n'ont aucun secret pour lui – un don d'interprétation en dimension finie qui témoigne aussi d'une intuition géométrique remarquable. Histoire des sciences :Lire la suite
CONTINU & DISCRET

Écrit par :  Jean-Michel SALANSKIS

Dans le chapitre "Dynamique du continu et du discret"  : …   » (en vue d'une forme stricte), annonçant par là même tout ce que nous venons de dire. Le mot *analyse, de son côté, signifie en langue naturelle décomposition du global, mouvement vers le détail : le regard analysant « resserre » sa visée, s'intéresse à la complexité de ce qui se passe dans un lieu réduit (il peut y avoir une infinie… Lire la suite
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base)

Écrit par :  Yves GAUTIER

…  ne travaille pas uniquement sur la théorie des jeux : il se penche notamment sur des problèmes d’*analyse géométrique, ce qui le conduit à étudier des équations aux dérivées partielles, qui étaient considérées comme impossibles à résoudre. Il développe alors une méthode itérative, modifiée par le mathématicien d’origine allemande Jürgen Moser,… Lire la suite
FEFFERMAN CHARLES LOUIS (1949- )

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien américain, lauréat de la médaille Fields en 1978 pour ses travaux en analyse. Né le 18 avril 1949 à Washington (D.C.), Charles Louis Fefferman fait ses études supérieures à l'université du Maryland, puis à celle de Princeton (New Jersey), où il soutient sa thèse de doctorat en 1969. Après quelques années à l'université de Chicago, il… Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

Écrit par :  Bernard PIRE

  *Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans l'histoire de l'analyse… Lire la suite
GELFAND ISRAEL MOISEEVICH (1913-2009)

Écrit par :  Bernard PIRE

…  du mathématicien Andreï Kolmogorov (1903-1987) que n'atteignait pas l'antisémitisme ambiant. *Il soutient sa première thèse en 1935 dans le domaine de l'analyse fonctionnelle, sur le sujet des fonctions abstraites et des opérateurs linéaires. Il y développe une étude originale des fonctions définies sur les espaces normés. Dans sa seconde… Lire la suite
HADAMARD JACQUES (1865-1963)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

…  à Paris) a eu une grande influence sur l'école française de mathématiques au début du siècle. S'il *reste l'héritier de la grande tradition des analystes du xixe siècle dans ses travaux sur les fonctions analytiques, dont il tire de belles conséquences arithmétiques, il apparaît aussi comme un précurseur dans la théorie des… Lire la suite
HARDY GODFREY HAROLD (1877-1947)

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Mathématicien anglais, né à Granleigh, dans le Surrey, et mort à Cambridge. Godfrey Harold Hardy fit ses études au Trinity College de Cambridge, où il enseigna de 1906 à 1919. En 1908, il découvre, en même temps que le physicien W. Weinberg, mais indépendamment de lui, la loi de Hardy-Weinberg, qui décrit l'équilibre génétique au sein d'une… Lire la suite
INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM (L. Euler)

Écrit par :  Bernard PIRE

  *C'est à l'Académie des sciences de Berlin que Leonhard Euler (1707-1783) publie en 1748 le premier des trois grands traités didactiques où il expose sa conception du calcul différentiel et intégral. L'Introductio in analysin infinitorum met au premier plan le concept de fonction défini comme « une expression… Lire la suite
KUMMER ERNST EDUARD (1810-1893)

Écrit par :  Jean ITARD

Dans le chapitre "Éléments biographiques et premiers travaux"  : …  décompose le discriminant de l'équation qui détermine les axes d'une quadrique en une somme de sept *carrés. Ses études sur les congruences dans l'anneau des polynômes à coefficients réels suggèrent à A.-L. Cauchy sa théorie « algébrique » des nombres complexes fondée sur les résidus modulo (x2 + 1) (cf. nombres complexesLire la suite
LANGLANDS ROBERT (1936- )

Écrit par :  Bernard PIRE

… de conjectures – certaines précises, d’autres un peu floues – jetant des ponts entre l’algèbre et l’*analyse, plus précisément entre la théorie des nombres, la théorie des formes automorphes et la théorie des représentations des groupes. Si la théorie des nombres étudie d’abord les structures cachées dans l’ensemble des nombres entiers, la théorie… Lire la suite
LA VALLÉE-POUSSIN CHARLES JOSEPH DE (1866-1962)

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Mathématicien belge, né à Louvain et mort à Bruxelles. Charles J. de La Vallée-Poussin enseigna à l'université de Louvain de 1891 jusqu'à sa retraite. Il fut membre de l'Académie belge (1909), membre associé étranger de l'Académie des sciences (1945), membre honoraire de la London Mathematical Society (1952), président honoraire de l'Union… Lire la suite
LERAY JEAN (1906-1998)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Mathématicien français dont les travaux sont centrés sur les équations aux dérivées partielles ; c'est à propos de problèmes posés par cette théorie qu'il a forgé de nouveaux outils mathématiques qui sont devenus fondamentaux, en analyse et en topologie algébrique notamment. Né à Chantenay, près de Nantes, Jean Leray a été élève de l'École normale… Lire la suite
L'HOSPITAL GUILLAUME DE (1661-1704)

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Mathématicien français né et mort à Paris. Guillaume de L'Hospital, marquis de Sainte-Mesme, a été l'un des premiers élèves de Jean Bernoulli qui lui enseigna les méthodes nouvelles de l'analyse mathématique. Il a fait connaître à l'ensemble des mathématiciens les travaux de Leibniz et des Bernoulli et a introduit la notation différentielle dans… Lire la suite
LITTLEWOOD JOHN EDENSOR (1885-1977)

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien britannique, spécialiste de l'analyse. Né le 9 juin 1885 à Rochester dans le Kent, John Edensor Littlewood est le fils du mathématicien Edward Thornton Littlewood, qui avait été nommé en 1892 directeur d'une école de Wynberg en Afrique du Sud. Il quitte sa famille en 1900 pour suivre les cours de l'école Saint Paul de Londres, puis… Lire la suite
MARKOV ANDREÏ ANDREÏEVITCH (1856-1922)

Écrit par :  Universalis

… *Mathématicien russe né à Riazan et mort à Petrograd. Andreï Andreïevitch Markov est connu comme un spécialiste de la théorie des nombres, de la théorie des probabilités et de l'analyse mathématique. Issu d'une famille d'un petit fonctionnaire du gouvernement, il fait ses études à l'université de Saint-Pétersbourg et reçoit une médaille d'or pour… Lire la suite
MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES

Écrit par :  Jean Toussaint DESANTI

Dans le chapitre "La rénovation de l'analyse"  : …  *La rupture de « style » date, on le sait, de la première moitié du xixe siècle. Elle est due pour l'essentiel à Carl Friedrich Gauss, à Augustin-Louis Cauchy, à Niels Henrik Abel et à Bernhard Bolzano. Elle affecte principalement l'analyse mathématique et consiste à dégager le domaine (le système des nombres réels) dans lequel… Lire la suite
MÉCANIQUE - Histoire de la mécanique

Écrit par :  Pierre COSTABEL

Dans le chapitre "La mécanique classique"  : …  de la force en fonction de la qualification de réalisme, on s'engage dans des querelles de mots. L'*analyse mathématique situe la querelle à un autre niveau : entre les formes différentielles et les formes intégrales des équations fondamentales du mouvement, quelles sont celles qu'il vaut mieux choisir pour base ? D'Alembert opte résolument pour… Lire la suite
ONDELETTES

Écrit par :  Alexandre GROSSMANNBruno TORRESANI

Dans le chapitre "2. Une représentation efficace"  : …  comme l'ont montré Y. Meyer et ses collaborateurs. Une des problématiques traditionnelles de *l'analyse mathématique est la caractérisation de ce que l'on appelle les propriétés de régularité des fonctions. Très grossièrement, la régularité d'une fonction traduit la rapidité avec laquelle elle varie. Plus précisément, les fonctions sont… Lire la suite
OSGOOD WILLIAM FOGG (1864-1943)

Écrit par :  Jeanne PEIFFER

… *Mathématicien américain, né à Boston et mort à Belmont (Massachusetts), William Fogg Osgood a joué un rôle important dans le développement de la recherche aux États-Unis. Osgood est entré au collège de Harvard en 1882 et, à l'exception de quelques années passées dans les universités allemandes, il y fera toute sa carrière. Au départ, il fut surtout… Lire la suite
PARSEVAL DES CHÊNES MARC-ANTOINE (1755-1836)

Écrit par :  Bernard PIRE

…  l'Empereur qui ordonne l'arrestation de son auteur. Prévenu à temps, celui-ci peut fuir la France. *Les cinq articles mathématiques écrits par Parseval ont tous été présentés à l'Académie des sciences et publiés ensemble en 1806. Le premier, titré « Mémoire sur la résolution des équations aux différences partielles linéaires du second ordre », date… Lire la suite
PICARD ÉMILE (1856-1941)

Écrit par :  Michel HERVÉ

Le* mathématicien français Charles Émile Picard fut un analyste profond et inspiré, un travailleur infatigable et un professeur captivant. Trois guerres le frappèrent durement, mais sa carrière ne compta que des succès rapides : agrégé et docteur la même année, à vingt et un ans ; professeur à la Sorbonne à… Lire la suite
POINCARÉ HENRI (1854-1912)

Écrit par :  Gérard BESSONChristian HOUZELMichel PATY

Dans le chapitre "L'œuvre scientifique"  : …  d'une variable complexe. Ce faisant, il proposait des notions nouvelles et importantes pour *l'analyse, comme les fonctions à espaces lacunaires et les fonctions algébroïdes. Il reprit ensuite le problème d'un autre point de vue, considérant des équations différentielles à coefficients réels – et, dans un premier temps, du premier degré – et… Lire la suite
RÉFLEXIONS SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS (J. L. Lagrange)

Écrit par :  Bernard PIRE

  *Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publie en 1770 les Réflexions sur la résolution algébrique des équations dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, Académie où il avait succédé à Leonhard Euler comme directeur des mathématiques. Ce texte commence par un hommage… Lire la suite
ROBINSON ABRAHAM (1918-1974)

Écrit par :  Daniel ANDLER

… *Mathématicien et logicien américain d'origine allemande. Né à Waldenburg, en Allemagne (l'actuelle Walbrzych polonaise), dans une famille intellectuelle sioniste, Abraham Robinson émigre en Palestine avec sa famille en 1933. Tout en gagnant sa vie et en suivant l'entraînement militaire de la Haganah, il étudie les mathématiques à l'université… Lire la suite
SINGER ISADORE MANUAL (1924- )

Écrit par :  Bernard PIRE

…  du Massachusetts Institute of Technology où il accomplira la quasi-totalité de sa carrière. *Spécialiste de l'analyse, Singer s'intéresse particulièrement à la théorie des variétés complexes, généralisation des surfaces de Riemann au cas de plusieurs variables. Il invente avec Richard V. Kadison les algèbres d'opérateurs triangulaires. Avec… Lire la suite
STIELTJES THOMAS-JEAN (1856-1894)

Écrit par :  Jeanne PEIFFER

… *Mathématicien né le 29 décembre 1856 à Zwolle (Pays-Bas), mort le 31 décembre 1894 à Toulouse. Sentant une profonde vocation pour les travaux théoriques, Thomas Stieltjes fit le tour de toute l'analyse de son époque. Sa méthode de recherche s'apparentait à celle de Gauss : découvrir les lois générales à travers les particularités de l'exemple. Fils… Lire la suite
THÉORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR (J. Fourier)

Écrit par :  Bernard PIRE

  *Les travaux de Joseph Fourier (1768-1830) sur la propagation de la chaleur, entrepris dès 1804 alors qu'il occupait le poste de préfet de l'Isère, présentés en 1811 dans un mémoire à l'Académie des sciences et rassemblés en 1822 dans le livre Théorie analytique de la chaleur, ont joué un rôle fondamental dans le… Lire la suite
THÉORIE DES DISTRIBUTIONS (L. Schwartz)

Écrit par :  Bernard PIRE

  *Professeur à l'université de Nancy, Laurent Schwartz (1915-2002) fonde la théorie mathématique des distributions dans un article intitulé « Généralisation de la notion de fonction, de dérivation, de transformation de Fourier et applications mathématiques et physiques ». Il donne une interprétation unifiée des nombreuses… Lire la suite
TITCHMARSH EDWARD CHARLES (1899-1963)

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien britannique, spécialiste de l'analyse classique. Né le 1er juin 1899 à Newbury dans le Berkshire, Edward Charles Titchmarsh était le second fils d'un pasteur congrégationnaliste. Lauréat d'une bourse pour étudier au collège Balliol de l'université d'Oxford, il commence ses études supérieures en 1917, mais est envoyé en août… Lire la suite
WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897)

Écrit par :  Michel HERVÉ

La longue vie de Weierstrass fut entièrement consacrée à* l'analyse mathématique et peu de savants exercèrent sur leur science une influence aussi profonde, durable et bienfaisante. D'abord professeur à l'Institut militaire prussien, Weierstrass passera en 1856 à l'université de Berlin, où il donnera… Lire la suite
YOUNG WILLIAM HENRY (1863-1942)

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien britannique, spécialiste de l'analyse. Né le 20 octobre 1863 à Londres, William Henry Young était le fils aîné d'un épicier baptiste. Admis à l'université de Cambridge en 1881, il s'y révèle extrêmement doué en mathématiques. Il se convertit à l'Église anglicane et se consacre à la théologie tout en gagnant sa vie en donnant des cours… Lire la suite

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