BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE

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La notion d'algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique, joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés, calcul des probabilités) et en logique mathématique (logique algébrique, modèles booléens).

Algèbre de Boole

Algèbre de Boole

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Les opérateurs booléens et leurs combinaisons : les portes logiques.L'algèbre de Boole est une algèbre binaire qui s'applique au domaine des propositions. Une proposition ne peut adopter que deux valeurs : oui/non, vrai/faux, haut/bas, 1/0, sans possibilité de valeurs intermédiaires.En... 

Crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.

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On appelle algèbre de Boole (A, ∨, ∧, ¬, 0, 1) la donnée d'un ensemble A (non vide) muni de deux lois de composition interne ∨ et ∧, associatives et commutatives, d'une application unaire ¬ et de deux éléments privilégiés 0 et 1, ces données vérifiant les axiomes suivants :

On appelle anneau de Boole la donnée (A ; +, ., 0, 1) d'un anneau commutatif unitaire vérifiant :

Les structures d'algèbre de Boole et d'anneau de Boole sont équivalentes au sens suivant :

— On peut associer à toute algèbre de Boole (A, ∨, ∧, ¬, 0, 1) l'anneau de Boole (A ; +, ., 0, 1) défini par :

— On peut associer à tout anneau de Boole (A ; +, ., 0, 1) l'algèbre de Boole (A, ∨, ∧, ¬, 0, 1) définie par :

Les deux correspondances précédentes sont inverses l'une de l'autre, comme on le vérifie facilement, et permettent de rattacher la théorie des algèbres de Boole à la théorie des anneaux. On peut également rattacher la théorie des algèbres de Boole à celle des ensembles ordonnés en observant que l'on peut définir un ordre canonique sur toute algèbre de Boole en posant :

Exemples d'algèbre de Boole.

1. Pour tout ensemble X, l'ensemble P(X) des parties de X devient une algèbre de Boole si on pose :

Il résulte d'un théorème fondamental, dû à M. Stone, que toute algèbre de Boole est isomorphe à une sous-algèbre de Boole d'une algèbre du type précédent.

2. Soit F l'ensemble des formules propositionnelles construites à l'aide des connecteurs ∨, ∧, ¬ à partir d'un ensemble P non vide de variables propositionnelles. Posons A ~ B si et seulement si la formule A ↔ B est une [...]



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Écrit par :

  • : docteur ès sciences, professeur de mathématiques à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Gabriel SABBAGH, « BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 12 décembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre-et-anneau-de-boole/