BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE

La notion d'algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique, joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés, calcul des probabilités) et en logique mathématique (logique algébrique, modèles booléens).

On appelle algèbre de Boole (A, ∨, ∧, ¬, 0, 1) la donnée d'un ensemble A (non vide) muni de deux lois de composition interne ∨ et ∧, associatives et commutatives, d'une application unaire ¬ et de deux éléments privilégiés 0 et 1, ces données vérifiant les axiomes suivants :

On appelle anneau de Boole la donnée (A ; +, ., 0, 1) d'un anneau commutatif unitaire vérifiant :

Les structures d'algèbre de Boole et d'anneau de Boole sont équivalentes au sens suivant :

— On peut associer à toute algèbre de Boole (A, ∨, ∧, ¬, 0, 1) l'anneau de Boole (A ; +, ., 0, 1) défini par :

— On peut associer à tout anneau de Boole (A ; +, ., 0, 1) l'algèbre de Boole (A, ∨, ∧, ¬, 0, 1) définie par :

Les deux correspondances précédentes sont inverses l'une de l'autre, comme on le vérifie facilement, et permettent de rattacher la théorie des algèbres de Boole à la théorie des anneaux. On peut également rattacher la théorie des algèbres de Boole à celle des ensembles ordonnés en observant que l'on peut définir un ordre canonique sur toute algèbre de Boole en posant :

Exemples d'algèbre de Boole.

1. Pour tout ensemble X, l'ensemble P(X) des parties de X devient une algèbre de Boole si on pose :

Il résulte d'un théorème fondamental, dû à M. Stone, que toute algèbre de Boole est isomorphe à une sous-algèbre de Boole d'une algèbre du type précédent.

2. Soit F l'ensemble des formules propositionnelles construites à l'aide des connecteurs ∨, ∧, ¬ à partir d'un ensemble P non vide de variables propositionnelles. Posons A ~ B si et seulement si la formule A ↔ B est une tautologie. La relation ~ est une relation d'équivalence sur F compatible avec les connecteurs ∨, ∧, ¬, ce qui permet de définir sur F/~ une structure d'algèbre de Boole. Cette algèbre de Boole est appelée algèbre de Lindenbaum du calcul propositionnel P et semble avoir été considérée implicitement par Boole.

Les algèbres de Boole ont servi de prototype au développement de plusieurs techniques. Citons la logique algébrique : on adapte l'exemple 2 au contexte plus général de la logique du premier ordre, où l'on doit tenir compte de l'action des quantificateurs ; on obtient ainsi les structures d'algèbres polyadique et cylindrique.

La notion de spectre d'anneau. Le théorème de Stone établit une dualité entre la catégorie des algèbres de Boole et celle des espaces topologiques compacts totalement discontinus. Plus généralement, la notion de spectre d'anneau fournit un foncteur très utile de la catégorie des anneaux commutatifs dans la catégorie des anneaux topologiques.

Les algèbres de Boole sont d'un emploi constant et traditionnel en théorie de la mesure et en calcul des probabilités. On a introduit avec succès la notion de modèle booléen, qui a permis de donner des démonstrations relativement simples de l'indépendance de l'hypothèse du continu et de faire faire des progrès à la théorie proprement dite des algèbres de Boole (construction d'algèbres de Boole sophistiquées n'ayant aucun automorphisme non trivial, etc.).

— Gabriel SABBAGH