CONSTRUCTIVISME, mathématique

Le constructivisme est une philosophie des mathématiques définie par deux composantes. Au plan ontologique, le constructiviste considère les objets mathématiques, non comme existant « par eux-mêmes », mais comme le résultat des constructions mentales du mathématicien. Au plan méthodologique, il insiste sur l'importance des preuves dites « constructives », c'est-à-dire des démonstrations qui, si elles concluent à l'existence d'un objet, donnent une méthode permettant d'en produire effectivement un exemplaire, au lieu de se contenter d'établir que l'inexistence de l'objet conduirait à une contradiction. Par exemple, la démonstration par Euclide (iv^e-iii^e siècle avant J.-C.) du théorème établissant l'existence d'une infinité de nombres premiers peut être qualifiée de constructive, puisqu'elle spécifie, un nombre premier p étant donné, qu'il s'en trouvera un autre avant p !+1, l'intervalle de recherche pour le nombre premier suivant étant ainsi borné.

Naturellement, l'intérêt méthodologique particulier des preuves constructives – elles donnent plus d'informations que les autres – n'échappe à personne, et notamment pas aux réalistes « platoniciens », qui tiennent, quant à eux, que les objets mathématiques ne sont pas nos créations. Aussi, la différence entre les constructivistes et leurs adversaires tient au fait que, pour les premiers, et non pour les seconds, les preuves non constructives ne sont pas, au sens strict, des preuves. Comme les preuves non constructives abondent dans les mathématiques classiques, le constructivisme est donc une philosophie révisionniste, qui s'attache à réformer les mathématiques classiques en limitant leurs méthodes aux procédés constructifs.