ORDONNÉS ENSEMBLES

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Les relations d'ordre interviennent de manière naturelle dans des questions comme l'étude des liens de parenté et celle des liens de subordination, comme les problèmes de classification, etc. C'est de là, et de la relation ≤ entre nombres, que découle la terminologie habituellement employée : on dit que a est « plus petit » que b, que a est « dominé » par b, que b est « plus haut » que a, etc. Remarquons que cette situation inclut l'égalité a = b ; on précise que, de plus, a b, en ajoutant l'adverbe « strictement ».

La théorie des ensembles ordonnés comporte une partie élémentaire qui est exposée ici, mais constitue aussi un chapitre important de la « grande » théorie des ensembles (cf. logique mathématique - Théorie axiomatique des ensembles) en liaison étroite avec l'axiome du choix dont plusieurs formulations équivalentes s'expriment en terme d'ordre. La théorie des ordinaux, due à Cantor, s'exprime aussi dans ce cadre. Rappelons enfin que c'est à partir de la relation d'ordre usuel sur l'ensemble des nombres rationnels que R. Dedekind, en 1872, a donné la première construction rigoureuse de l'ensemble des nombres réels (cf. nombres réels).

Relations d'ordre

On dit qu'une relation R sur un ensemble E est une relation d'ordre (cf. théorie élémentaire des ensembles, chap. 2) si elle satisfait aux axiomes suivants :

(O1) Réflexivité : pour tout élément a de E, on a la relation aRa ;

(O2) Antisymétrie : les relations aRb et bRa ne sont compatibles que pour b ;

(O3) Transitivité : les relations aRb et bRc impliquent aRc.

Par exemple, la relation ≤ est une relation d'ordre sur tout sous-ensemble de l'ensemble R des nombres réels.

Étant donné deux nombres réels distincts a et b, on a toujours une, et une seule, des relations ≤ b ou ≤ a. Plus généralement, si E est un ensemble muni d'une relation d'ordre R, on dira que deux éléments a et b sont comparables si on a au moins une des relations aRb ou bRa. Si deux éléments quelconques d'un ensemble ordonné E sont toujours comparables, on dit que E est totalement ordonné, ou encore que l'ordre est total, ou linéaire. Dans le cas contraire, on parle d'ordre partiel.

Un exemple d'ordre partiel

Soit X un ensemble ; la relation d'inclusion ⊂ est une relation d'ordre sur l'ensemble E = P(X) des parties de X (cf. théorie élémentaire des ensembles, chap. 1). Sur la figure, on a représenté le diagramme sagittal de cette relation dans le cas où X = }α, β, γ{ est un ensemble à trois éléments : pour a, b ∈ P(X), on a :

si b ou s'il existe une ou plusieurs flèches « consécutives » du diagramme partant de a pour aboutir à b. Les parties {β} et {α, γ}, par exemple, ne sont pas comparables et l'ordre n'est donc pas total.

Ensemble ordonné par inclusion

Dessin : Ensemble ordonné par inclusion

L'ensemble, ordonné par inclusion, des parties de l'ensemble {a, ß, ɣ} 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

Intervalles

Soit E un ensemble ordonné et a et b des éléments de E avec a plus petit que b. On appelle intervalle ouvert d'origine a et d'extrémité b, noté ]a b[, l'ensemble des éléments x de E qui sont strictement plus grands que a et strictement plus petits que b (donc en particulier comparables à a et à b). Ainsi on a, dans l'exemple précédent illustré par le diagramme de la figure,

Ensemble ordonné par inclusion

Dessin : Ensemble ordonné par inclusion

L'ensemble, ordonné par inclusion, des parties de l'ensemble {a, ß, ɣ} 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

On définit de même, pour a plus petit que b, l'intervalle fermé [ab] qui est l'ensemble des éléments x de E qui sont plus grands que a et plus petits que b : c'est l'intervalle ouvert ]ab[ augmenté de ses deux extrémités.

Majorants

Soit E un ensemble ordonné et A un sous-ensemble de E. On dit qu'un élément m de E est un majorant de A si tout élément de A est plus petit que m (ce qui implique que tout élément de A est comparable à m) ; si A admet au moins un majorant, on dit que c'est un ensemble majoré. Dans le cas où, de plus, m appartient à A, on dit que A admet un plus grand élément ; il résulte de (O2) que ce plus grand élément m, s'il existe, est unique.

Reprenons encore l'exemple ci-dessus, illustré par le diagramme de la figure, avec :

cet ensemble admet pour majorant = {α, β, γ}, mais n'admet pas de plus grand élément. L'élément {β, γ} de A n'est pas un plus grand élément (car il n'est pas comparable à {α, β}), mais possède la propriété plus faible qu'il n'existe pas d'élément de A qui soit strictement plus grand que lui : on dit que c'est un élément maximal.

Ensemble ordonné par inclusion

Dessin : Ensemble ordonné par inclusion

L'ensemble, ordonné par inclusion, des parties de l'ensemble {a, ß, ɣ} 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

Afficher

Borne supérieure

Soit toujours E un ensemble ordonné et A un sous-ensemble de E que nous supposerons majoré. Tout élément de E plus grand qu'un majorant de A est a fortiori un majorant de A et il est donc intéressant de chercher des majorants le plus petits possible. On dit que A admet une [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 4 pages

Médias de l’article

Ensemble ordonné par inclusion

Ensemble ordonné par inclusion
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Ensemble ordonné par la relation de division

Ensemble ordonné par la relation de division
Crédits : Encyclopædia Universalis France

dessin

Afficher les 2 médias de l'article


Écrit par :

Classification

Autres références

«  ORDONNÉS ENSEMBLES  » est également traité dans :

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 34 159 mots

Dans le chapitre « Espèces de structures plus riches que celle d'ensemble-préordonné »  : […] Un ensemble-filtrant-à-gauche (respectivement ensemble-filtrant-à-droite , ensemble-filtrant , ces noms étant habituellement écrits sans traits d'union) est un ensemble-préordonné (E, R) tel que toute paire d'éléments de E soit minorée (respectivement majorée, bornée – c'est alors vrai pour toute partie finie non vide). Soit (E, R) un ensemble-préordonné. Si de plus R est symétrique, alors R est […] Lire la suite

BOOLE ALGÈBRE & ANNEAU DE

  • Écrit par 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 610 mots
  •  • 1 média

La notion d'algèbre de Boole, introduite par G. Boole (1847) et par A. De Morgan afin d'algébriser les opérations propositionnelles de la logique , joue un rôle très utile dans plusieurs branches des mathématiques (algèbre, théorie des ensembles ordonnés, calcul des probabilités) et en logique mathématique (logique algébrique, modèles booléens). On appelle algèbre de Boole (A, ∨, ∧, ¬, 0, 1) la d […] Lire la suite

HAUSDORFF FELIX (1868-1942)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 688 mots

La renommée du mathématicien allemand Felix Hausdorff repose surtout sur son ouvrage Grundzüge der Mengenlehre (1914), qui en fit le fondateur de la topologie et de la théorie des espaces métriques. Né à Breslau dans une famille de marchands aisés, Hausdorff fit ses études secondaires à Leipzig, puis étudia les mathématiques et l'astronomie à Leipzig, Fribourg-en-Brisgau et Berlin. En 1891, il ob […] Lire la suite

RELATION

  • Écrit par 
  • Jean LADRIÈRE
  •  • 7 662 mots

Dans le chapitre « Relations arithmétiques, multirelations, structure, système »  : […] La théorie des relations arithmétiques a été développée sur des bases établies par les travaux de Stephen Cole Kleene, dans le cadre de la théorie des fonctions et prédicats d'entiers. Un prédicat d'entiers à n arguments peut être considéré (extensionnellement) comme une partie de l'ensemble des n -uples d'entiers. Une fonction à n arguments peut être considérée comme une relation de type plusie […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

André WARUSFEL, « ORDONNÉS ENSEMBLES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/ensembles-ordonnes/