ORDONNÉS ENSEMBLES

Les relations d'ordre interviennent de manière naturelle dans des questions comme l'étude des liens de parenté et celle des liens de subordination, comme les problèmes de classification, etc. C'est de là, et de la relation ≤ entre nombres, que découle la terminologie habituellement employée : on dit que a est « plus petit » que b, que a est « dominé » par b, que b est « plus haut » que a, etc. Remarquons que cette situation inclut l'égalité a = b ; on précise que, de plus, a ≠ b, en ajoutant l'adverbe « strictement ».

La théorie des ensembles ordonnés comporte une partie élémentaire qui est exposée ici, mais constitue aussi un chapitre important de la « grande » théorie des ensembles (cf. logique mathématique - Théorie axiomatique des ensembles) en liaison étroite avec l'axiome du choix dont plusieurs formulations équivalentes s'expriment en terme d'ordre. La théorie des ordinaux, due à Cantor, s'exprime aussi dans ce cadre. Rappelons enfin que c'est à partir de la relation d'ordre usuel sur l'ensemble des nombres rationnels que R. Dedekind, en 1872, a donné la première construction rigoureuse de l'ensemble des nombres réels (cf. nombres réels).

Relations d'ordre

On dit qu'une relation R sur un ensemble E est une relation d'ordre (cf. théorie élémentaire des ensembles, chap. 2) si elle satisfait aux axiomes suivants :

(O₁) Réflexivité : pour tout élément a de E, on a la relation aRa ;

(O₂) Antisymétrie : les relations aRb et bRa ne sont compatibles que pour a = b ;

(O₃) Transitivité : les relations aRb et bRc impliquent aRc.

Par exemple, la relation ≤ est une relation d'ordre sur tout sous-ensemble de l'ensemble R des nombres réels.

Étant donné deux nombres réels distincts a et b, on a toujours une, et une seule, des relations a ≤ b ou b ≤ a. Plus généralement, si E est un ensemble muni d'une relation d'ordre R, on dira que deux éléments a et b sont comparables si on a au moins une des relations aRb ou bRa. Si deux éléments quelconques d'un ensemble ordonné E sont toujours comparables, on dit que E est totalement ordonné, ou encore que l'ordre est total, ou linéaire. Dans le cas contraire, on parle d'ordre partiel.

Un exemple d'ordre partiel

Soit X un ensemble ; la relation d' inclusion ⊂ est une relation d'ordre sur l'ensemble E = P(X) des parties de X (cf. théorie élémentaire des ensembles, chap. 1). Sur la figure, on a représenté le diagramme sagittal de cette relation dans le cas où X = }α, β, γ{ est un ensemble à trois éléments : pour a, b ∈ P(X), on a :

si a = b ou s'il existe une ou plusieurs flèches « consécutives » du diagramme partant de a pour aboutir à b. Les parties {β} et {α, γ}, par exemple, ne sont pas comparables et l'ordre n'est donc pas total.

Intervalles

Soit E un ensemble ordonné et a et b des éléments de E avec a plus petit que b. On appelle intervalle ouvert d'origine a et d'extrémité b, noté ]a b[, l'ensemble des éléments x de E qui sont strictement plus grands que a et strictement plus petits que b (donc en particulier comparables à a et à b). Ainsi on a, dans l'exemple précédent illustré par le diagramme de la figure,

On définit de même, pour a plus petit que b, l'intervalle fermé [a, b]qui est l'ensemble des éléments x de E qui sont plus grands que a et plus petits que b : c'est l'intervalle ouvert ]a, b[ augmenté de ses deux extrémités.