NOTATION MATHÉMATIQUE

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La logique symbolique

Les ensembles

Depuis Leibniz, on a avancé divers systèmes de notations pour la logique symbolique. Il faut mentionner les tentatives de Boole (1847), E. Schröder (1877), G. Frege (1879, 1893), Peano (1891, et son Formulaire de mathématique à partir de 1895), Russell et Whitehead (1910) ; tous ces systèmes incluent les notations ensemblistes.

Il y a un manque d'uniformité dans les notations ensemblistes et logiques. On pratique des systèmes notationnels différents dans la théorie de la mesure, dans celle des probabilités, en topologie, en analyse abstraite, en algèbre, dans les fondements de la mathématique. La plupart des logiciens emploient un symbolisme archaïque, différent de celui de la plupart des mathématiciens. De plus en plus, ces derniers s'accoutument à formaliser le texte qui accompagne les formules par l'usage de symboles logiques ; c'est parfois le galimatias sublime. Les abus se sont multipliés dans les livres scolaires modernes. Quelques symboles gigantesques ont été propagés par Nicolas Bourbaki. Il demeure que les grandes tendances sont saines : alléger des symboles surchargés et formaliser de plus en plus.

Le signe d'appartenance ensembliste ∈ est dû à Peano. Il écrivait l'epsilon à la manière des Européens du Continent ; Russell et Whitehead le remplacèrent par l'epsilon britannique (ε) qui, introduit sur le Continent, fut en général distingué de l'epsilon ordinaire, indispensable dans l'epsilontique. Le nombre de Continentaux qui emploient le ε pour l'appartenance et de Britanniques qui emploient le ∈ comme variable mathématique décroît de plus en plus.

Le signe d'inclusion est chez C. S. Pierce (1867), <, et plus tard ⊂ chez E. Schröder ; le même signe renversé fut adopté par Peano pour l'implication ; il a le double sens d'inclusion de classes et d'implication chez Russell et Whitehead, ce qui est une source de confusion (parce que, si A ⊂ B, alors ∈ A ⊃ x ∈ B). A. Schoenflies (1913) se décida pour < et ≦, C. Caratheodory (1918) pour <, F. Hausdorff pour ⊂ et ⊆. Ce dernier choix l'a emporté sur les autres ; < a disparu en tant que symbole d'inclusion ; < et ≦ subsistent encore, en particulier en théorie des groupes où ils étaient usuels depuis le début du xxe siècle. Pour la majorité, ⊂ inclut l'égalité, mais il y a nombre considérable d'auteurs qui distinguent ⊂ et ⊆.

Boole interpréta l'union et l'intersection comme somme et produit ; il les notait par les symboles algébriques correspondants ; Schröder adopta cet usage. Peano introduisit les symboles ∪ et ∩ au lieu de + et ( (pour des classes et des propositions) ; Russell et Whitehead les adoptèrent (pour des classes, et non pour des propositions). G. Cantor et Schoenflies préféraient des notations plus compliquées, mais Hausdorff se décida pour la notation d'addition et de multiplication pour indiquer l'union et l'intersection. Dans la théorie des groupes, on répudia l'interprétation multiplicative de l'intersection qui contredit la notation AB pour l'ensemble des ab avec a ∈ A et b ∈ B ; vers 1920, le signe ∧ fut introduit pour désigner l'intersection de sous-groupes d'un groupe. Quand les procédures ensemblistes firent des progrès dans l'algèbre, on se vit forcé, pour des raisons analogues, de remplacer le + en tant que signe d'union par ∨. Ces arguments contre l'interprétation additive et multiplicative de l'union et de l'intersection ne valaient ni dans la théorie de la mesure ni dans la topologie. Mais, dès que les méthodes algébriques gagnèrent du terrain dans la topologie et lorsque s'élabora clairement l'algèbre topologique, on dut abandonner cette interprétation et cette notation. Il y eut des tentatives pour revenir aux notations de Schoenflies, mais, depuis 1935 environ, les anciens symboles ∪ et ∩ de Peano furent repris. (B. L. Van der Waerden, en 1937, employait ∩ pour l'intersection et ∨ pour l'union.) Il semble qu'à présent la majorité des auteurs se sert de tels symboles, mais une minorité importante (topologues ensemblistes et probabilistes) s'attache toujours aux + et (. Certains distinguent des symboles minuscules ∪, ∩ pour les opérations sur une paire d'ensembles et des majuscules dans :

pour l'union et l'intersection d'un ensemble d'ensembles. Ceux qui préfèrent la notation algébrique prennent Σ et Π pour l'union et l'intersection d'un ensemble d'ensembles. Le signe \ remplaçant − pour indiquer la différence de deux ensembles fut introduit vers 1935, mais l [...]

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  • : professeur à l'université d'Utrecht, directeur de l'Institut pour le développement de l'enseignement mathématique

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Pour citer l’article

Hans FREUDENTHAL, « NOTATION MATHÉMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 janvier 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/notation-mathematique/