NOTATION MATHÉMATIQUE

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Les fonctions

L'emploi mathématique du terme de fonction date de la correspondance de Leibniz avec Johann Bernoulli. Les auteurs sont conscients du fait que, parmi quelques variables, l'une peut être une fonction de l'autre et ils rendent, s'il est possible, cette dépendance explicite ; mais des signes de fonction y sont très rares (Johann Bernoulli, 1718 : ϕx, ϕ fonction de x). Cela change avec Euler et J. d'Alembert ; Euler établit la préférence pour f, F, ϕ, Φ en tant que symboles de fonction et Lagrange propage l'emploi de ces signes.

La notation des fonctions a subi des changements profonds depuis 1930 environ, bien qu'il y ait des précurseurs dès le début du siècle et que des conservateurs ne se soient pas encore convertis au nouveau style. Dans l'analyse pratiquée avant 1930, il était usuel de désigner une fonction par f(x), c'est-à-dire avec un argument explicite. Le nouveau style fut suggéré par l'analyse fonctionnelle. Tant que l'on ne considère qu'une seule fonction ou un nombre fini de fonctions, il importe peu qu'une fonction soit désignée par f ou par f(x). Mais de quelle manière devrait-on exprimer le fait qu'une fonction appartient à un ensemble A ? La notation f(x) ∈ A est décidément fausse ; elle stipule l'appartenance des valeurs de la fonction à A ; on doit dire f ∈ A. De quelle manière doit-on exprimer le fait qu'une fonction est transformée en une autre par une transformation fonctionnelle ?

est évidemment faux ; on doit dire :

Comment indiquer la translation de la variable dans une fonction ?

est impossible ; cela devient :

Dès que l'on s'orienta vers des ensembles de fonctions et vers les transformations fonctionnelles, on fut obligé d'adopter une notation rationnelle de fonction : f est alors la fonction, et f(x) la valeur qu'elle adopte à x. Cet x est une variable libre ou liée de quelque manière, ou bien il peut indiquer quelque valeur fixe. Mais la fonction n'est pas mariée avec cet x ; au contraire, f(x) est fonction de x comme f(y) est fonction de y.

Ce mode de notation, qui a fait de grands progrès dans la mathématique pure et, en particuli [...]


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Écrit par :

  • : professeur à l'université d'Utrecht, directeur de l'Institut pour le développement de l'enseignement mathématique

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Pour citer l’article

Hans FREUDENTHAL, « NOTATION MATHÉMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 février 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/notation-mathematique/