NOTATION MATHÉMATIQUE

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Le formalisme algébrique

La syntaxe des formules algébriques

Les langues naturelles doivent leur structure syntactique à un amas chaotique de moyens de flexion, de subordination, de conjonction, de ponctuation, de mélodie et de rythme. Mais, très souvent, la structure syntactique s'explique par le sens et non par des critères formels. « Mathématique et langue française » et « langue et littérature françaises » ont la même structure formelle, mais le sens indique des structures syntactiques différentes.

Dans le langage des expressions algébriques, on s'efforce d'exprimer complètement la structure par des moyens formels, dont les plus importants sont les parenthèses, crochets et accolades : (a + b).c est aussi plein de sens que a + b.c, et on a besoin de pouvoir les distinguer.

Le système des règles pour la succession des opérations est plus compliqué qu'on ne pense et que ne le veulent certains vers mnémotechniques. Pour des sommes algébriques telles que :

la règle est que tout se fait dans l'ordre où cela est écrit, autrement dit tout se passe comme si toutes les parenthèses ouvrantes étaient placées à gauche. Pour l'addition, qui est associative, toute règle est superflue, tandis qu'il est convenu que :
doit être lu comme :

Ce principe de l'ordre linéaire est si naturel que, avant l'usage de parenthèses, on structurait des expressions algébriques au moyen de déviations par rapport à l'ordre linéaire. Par exemple, Descartes écrit (Œuvres, édition Adam et Tannery, vol. VI, p. 415) :

C'est une méthode qu'on trouve déjà chez Viète ; parfois il emploie des crochets placés d'un côté ou même des deux côtés d'une expression algébrique. Le principe de structure par rupture de l'ordre linéaire est plus ancien ; il est à l'origine de cette notation des fractions que l'on doit aux Indiens.

Un autre moyen formel de structure a été la barre horizontale, servant à agréger les termes ; Descartes fut le premier à l'employer à profusion. L'usage de cette barre s'est conservé jusqu'à la fin du xixe siècle dans des expressions telles que n + 1. Parfois, des accolades horizontales ont la même fonction. Le dernier vestige de cette écriture est la barre du signe de racine a + b ; la barre qui indique la conjugaison complexe est fonctionnelle plutôt que syntactique. La paire de parenthèses ne remplaça pas d'emblée la barre. D'abord employée par Stifel (dans ses manuscrits, 1544), elle prévalut grâce à Leibniz.

Le plus ancien des principes structurels formels est celui selon lequel certaines opérations en précèdent d'autres. Le principe selon lequel la multiplication crée une liaison plus étroite que l'addition et la soustraction est attesté dès les textes cunéiformes. Il est, en effet, bien naturel de traiter la multiplication comme une dénomination (2 × 6, c'est deux sixaines), même si l'on rejette des abus didactiques (2a + 3a = 5a, parce que 2 vaches + 3 vaches = 5 vaches). Cette interprétation de la multiplication fut historiquement suggérée par le langage des équations où, dès le début, un problème tel que x2 + 21 = 10 x était formulé sous la forme « une chose-carré plus 21 égale 10 choses ». À partir des premières formules algébriques, il ne fut jamais douteux que la multiplication précédait l'addition et la soustraction, en particulier si on indiquait la multiplication par juxtaposition ; il en fut de même quand la multiplication fut exprimée par un signe explicite, par exemple chez Viète qui employait en général le mot in en tant que symbole de multiplication. Dès la notation exponentielle de Descartes pour les puissances, il devient aussi évident que l'opération exponentielle précède l'addition, la soustraction et la multiplication.

Tous ces moyens structurels étaient de caractère agrégeant ; cela est rare dans les langues naturelles, qui préfèrent la structuration par séparateurs. Des formules telles que :

qu'on trouve parfois dans les cahiers de calcul arithmétique, trahissent l'intention d'une structure par ordre linéaire. Dans les formules mathématiques, au contraire, on suppose, sans l'indiquer par des parenthèses et sans le dire explicitement, que le signe d'égalité sépare plus fortement que les autres signes (ce qui est également vrai pour les signes d'inégalité et d'ordre). Dans le passé, il y a eu des essais notationnels de structure par séparation. Stevin (1585) employait) (comme séparateur. On trouve des points et des colons séparateurs chez M. Rudolff (1525), C. Stifel (1544), L. Van Ceulen (1610) et leurs contemporains ; W. Ought [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 16 pages

Écrit par :

  • : professeur à l'université d'Utrecht, directeur de l'Institut pour le développement de l'enseignement mathématique

Classification

Autres références

«  NOTATION MATHÉMATIQUE  » est également traité dans :

ARYABHATIYA (Aryabhata)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 210 mots

Né à Kusumapura (proche de l'actuelle Patna) en Inde, Aryabhata (476-550) avait vingt-trois ans lorsqu'il termina son chef-d'œuvre : l' Aryabhatiya . Ce court traité d'astronomie, publié en 499, contient un résumé des mathématiques indiennes et en particulier 66 théorèmes d'arithmétique, d'algèbre, de trigonométrie plane et sphérique. Des résultats sur les fractions continues, les équations du sec […] Lire la suite

BOMBELLI RAFFAELE (1526-1573)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  • , Universalis
  •  • 459 mots

On sait peu de chose de la vie de Raffaele Bombelli. Né à Bologne en 1526, il est l’aîné de sa fratrie au sein d’une famille de commerçants en laine. Il n’a pas reçu d’enseignement universitaire et a été formé par Pier Francesco Clementi, architecte et ingénieur. Placé sous la protection d’Alessandro Ruffini, futur évêque de Melfi, il est employé à l’arpentage et au drainage du Val di Chiana, au s […] Lire la suite

BRAILLE

  • Écrit par 
  • Françoise MAGNA
  •  • 6 987 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Braille mathématique »  : […] Dès l'origine, Louis Braille a prévu la transcription des chiffres : ils sont figurés par les signes de la première série (lettres de a à j) précédés du symbole formé des points 3 à 6, appelé encore aujourd'hui « signe numérique ». De plus, la transcription des signes de l'arithmétique (plus, moins, multiplié, divisé par, égal) était également prévue. En France, cependant, de nouvelles notations […] Lire la suite

LE CALCUL DES FLUXIONS (I. Newton)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 204 mots
  •  • 1 média

En octobre 1666, Isaac Newton (1642-1727) écrit Le Calcul des fluxions qui, sans être immédiatement publié, sera déterminant pour le développement du calcul différentiel. Il y définit le concept de fluxions. Newton décrit une particule parcourant une courbe à l'aide de deux quantités : la vitesse horizontale x' et la vitesse verticale y' qu'il appelle fluxions des quantités fluentes x et y as […] Lire la suite

DESCARTES RENÉ

  • Écrit par 
  • Ferdinand ALQUIÉ
  •  • 12 478 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Les mathématiques »  : […] En mathématiques, Descartes a réformé le système des notations. Les signes en usage étaient alors les signes cossiques, signes complexes, tirés des alphabets grec et hébreu, signes malaisément maniables. Descartes ne se sert plus – sauf en ses tout premiers écrits – que des lettres de l'alphabet latin, des signes des quatre opérations arithmétiques et de la racine carrée ou cubique. Il désigne d' […] Lire la suite

FIBONACCI LEONARDO (1170 env.-env. 1250)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 450 mots

Mathématicien italien, né et mort à Pise. Connu aussi sous le nom de Léonard de Pise, Leonardo Fibonacci fut éduqué en Afrique du Nord, où son père, marchand de la ville de Pise (l'un des plus grands centres commerciaux d'Italie, à l'époque, au même rang que Venise et Gênes), dirigeait une sorte de comptoir ; c'est ainsi qu'il eut l'occasion d'étudier les travaux algébriques d'al-Khuwārizmī. Par l […] Lire la suite

INDE (Arts et culture) - Les sciences

  • Écrit par 
  • Francis ZIMMERMANN
  •  • 14 264 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « L'œuvre d'Āryabhaṭa »  : […] Āryabhaṭa vivait probablement à Patnā ( Pāṭaliputra ), la capitale des Gupta, au début du vi e siècle. Il indique lui-même ( Kālakriyāpāda , 10) qu'il avait vingt-trois ans révolus en 3600 de l'âge Kali , soit le 21 mars 499 après J.-C. Son œuvre, qui domine l'histoire de l'astronomie indienne, ne se limite pas au seul traité qui nous soit parvenu, l' Āryabhaṭīya , mais il écrivit un second trait […] Lire la suite

INDE (Arts et culture) - Les mathématiques

  • Écrit par 
  • Agathe KELLER
  •  • 5 560 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « La numération positionnelle décimale, une invention du sous-continent indien? »  : […] L’un des enjeux de l’histoire des mathématiques du sous-continent, et qui a intrigué à partir de la fin du xviii e   siècle orientalistes et mathématiciens, concerne l’invention du système de numération positionnelle décimale, qui serait à l’origine de celui que nous utilisons aujourd’hui. Il faut distinguer ici ce que disent les textes savants de ce que transmettent les inscriptions épigraphiques […] Lire la suite

LEIBNIZ : CALCUL DIFFÉRENTIEL

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 214 mots
  •  • 1 média

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) publie en 1684 les détails de son calcul différentiel dans son traité Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus . Il y reprend ses découvertes antérieures. Il avait introduit la notation moderne d'une intégrale dès 1675, calculé les dérivées des fonctions usuelles en 1676 et démontré les règles de dérivation des produits, quotients et composés […] Lire la suite

LOGIQUE

  • Écrit par 
  • Robert BLANCHÉ, 
  • Jan SEBESTIK
  •  • 12 997 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Leibniz »  : […] L'exception la plus considérable à cette désaffection générale pour la logique est celle de Leibniz. En logique comme ailleurs, ce philosophe de la continuité évite la rupture. Il accepte ce qui a été fait, il le reprend, mais pour l'approfondir. La logique traditionnelle n'est qu'un échantillon d'une logique générale, qui reste à établir. La syllogistique est une des plus belles inventions de l'e […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Hans FREUDENTHAL, « NOTATION MATHÉMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 30 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/notation-mathematique/