NOTATION MATHÉMATIQUE

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Le formalisme algébrique

La syntaxe des formules algébriques

Les langues naturelles doivent leur structure syntactique à un amas chaotique de moyens de flexion, de subordination, de conjonction, de ponctuation, de mélodie et de rythme. Mais, très souvent, la structure syntactique s'explique par le sens et non par des critères formels. « Mathématique et langue française » et « langue et littérature françaises » ont la même structure formelle, mais le sens indique des structures syntactiques différentes.

Dans le langage des expressions algébriques, on s'efforce d'exprimer complètement la structure par des moyens formels, dont les plus importants sont les parenthèses, crochets et accolades : (a + b).c est aussi plein de sens que a + b.c, et on a besoin de pouvoir les distinguer.

Le système des règles pour la succession des opérations est plus compliqué qu'on ne pense et que ne le veulent certains vers mnémotechniques. Pour des sommes algébriques telles que :

la règle est que tout se fait dans l'ordre où cela est écrit, autrement dit tout se passe comme si toutes les parenthèses ouvrantes étaient placées à gauche. Pour l'addition, qui est associative, toute règle est superflue, tandis qu'il est convenu que :
doit être lu comme :

Ce principe de l'ordre linéaire est si naturel que, avant l'usage de parenthèses, on structurait des expressions algébriques au moyen de déviations par rapport à l'ordre linéaire. Par exemple, Descartes écrit (Œuvres, édition Adam et Tannery, vol. VI, p. 415) :

C'est une méthode qu'on trouve déjà chez Viète ; parfois il emploie des crochets placés d'un côté ou même des deux côtés d'une expression algébrique. Le principe de structure par rupture de l'ordre linéaire est plus ancien ; il est à l'origine de cette notation des fractions que l'on doit aux Indiens.

Un autre moyen formel de structure a été la barre horizontale, servant à agréger les termes ; Descartes fut le premier à l'employer à profusion. L'usage de cette barre s'est conservé jusqu'à la fin du xixe siècle dans des expressions telles que n + 1. Parfois, des accolades horizontales ont la même [...]

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Écrit par :

  • : professeur à l'université d'Utrecht, directeur de l'Institut pour le développement de l'enseignement mathématique

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Pour citer l’article

Hans FREUDENTHAL, « NOTATION MATHÉMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/notation-mathematique/