NOTATION MATHÉMATIQUE

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Le formalisme algébrique

La syntaxe des formules algébriques

Les langues naturelles doivent leur structure syntactique à un amas chaotique de moyens de flexion, de subordination, de conjonction, de ponctuation, de mélodie et de rythme. Mais, très souvent, la structure syntactique s'explique par le sens et non par des critères formels. « Mathématique et langue française » et « langue et littérature françaises » ont la même structure formelle, mais le sens indique des structures syntactiques différentes.

Dans le langage des expressions algébriques, on s'efforce d'exprimer complètement la structure par des moyens formels, dont les plus importants sont les parenthèses, crochets et accolades : (a + b).c est aussi plein de sens que a + b.c, et on a besoin de pouvoir les distinguer.

Le système des règles pour la succession des opérations est plus compliqué qu'on ne pense et que ne le veulent certains vers mnémotechniques. Pour des sommes algébriques telles que :

la règle est que tout se fait dans l'ordre où cela est écrit, autrement dit tout se passe comme si toutes les parenthèses ouvrantes étaient placées à gauche. Pour l'addition, qui est associative, toute règle est superflue, tandis qu'il est convenu que :
doit être lu comme :

Ce principe de l'ordre linéaire est si naturel que, avant l'usage de parenthèses, on structurait des expressions algébriques au moyen de déviations par rapport à l'ordre linéaire. Par exemple, Descartes écrit (Œuvres, édition Adam et Tannery, vol. VI, p. 415) :

C'est une méthode qu'on trouve déjà chez Viète ; parfois il emploie des crochets placés d'un côté ou même des deux côtés d'une expression algébrique. Le principe de structure par rupture de l'ordre linéaire est plus ancien ; il est à l'origine de cette notation des fractions que l'on doit aux Indiens.

Un autre moyen formel de structure a été la barre horizontale, servant à agréger les termes ; Descartes fut le premier à l'employer à profusion. L'usage de cette barre s'est conservé jusqu'à la fin du xixe

1 2 3 4 5

pour nos abonnés,
l’article se compose de 16 pages




Écrit par :

  • : professeur à l'université d'Utrecht, directeur de l'Institut pour le développement de l'enseignement mathématique

Classification


Autres références

«  NOTATION MATHÉMATIQUE  » est également traité dans :

ARYABHATIYA (Aryabhata)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 210 mots

Né à Kusumapura (proche de l'actuelle Patna) en Inde, Aryabhata (476-550) avait vingt-trois ans lorsqu'il termina son chef-d'œuvre : l'Aryabhatiya. Ce court traité d'astronomie, publié en 499, contient un résumé des mathématiques indiennes et en particulier 66 théorèmes d'arithmétique, d'algèbre, de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/aryabhatiya/#i_36833

BOMBELLI RAFFAELE (1526-1573)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 222 mots

On ne sait pratiquement rien de la vie de Bombelli, sinon qu'il est né à Bologne en 1526. Il fut le premier des grands mathématiciens italiens du xvie siècle à apporter une importante contribution à l'étude des équations algébriques du 3e et du 4 […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/raffaele-bombelli/#i_36833

BRAILLE

  • Écrit par 
  • Françoise MAGNA
  •  • 6 987 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Braille mathématique »  : […] Dès l'origine, Louis Braille a prévu la transcription des chiffres : ils sont figurés par les signes de la première série (lettres de a à j) précédés du symbole formé des points 3 à 6, appelé encore aujourd'hui « signe numérique ». De plus, la transcription des signes de l'arithmétique (plus, moins, multiplié, divisé par, égal) était également […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/braille/#i_36833

LE CALCUL DES FLUXIONS (I. Newton)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 204 mots
  •  • 1 média

En octobre 1666, Isaac Newton (1642-1727) écrit Le Calcul des fluxions qui, sans être immédiatement publié, sera déterminant pour le développement du calcul différentiel. Il y définit le concept de fluxions. Newton décrit une particule […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/le-calcul-des-fluxions/#i_36833

DESCARTES RENÉ

  • Écrit par 
  • Ferdinand ALQUIÉ
  •  • 12 478 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Les mathématiques »  : […] En mathématiques, Descartes a réformé le système des notations. Les signes en usage étaient alors les signes cossiques, signes complexes, tirés des alphabets grec et hébreu, signes malaisément maniables. Descartes ne se sert plus – sauf en ses tout premiers écrits – que des lettres de l'alphabet latin, des signes des quatre opérations arithmétiques […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/rene-descartes/#i_36833

FIBONACCI LEONARDO (1170 env.-env. 1250)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 450 mots

Mathématicien italien, né et mort à Pise. Connu aussi sous le nom de Léonard de Pise, Leonardo Fibonacci fut éduqué en Afrique du Nord, où son père, marchand de la ville de Pise (l'un des plus grands centres commerciaux d'Italie, à l'époque, au même rang que Venise et Gênes), dirigeait une sorte de comptoir ; c'est ainsi qu'il eut l'occasion d' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/leonardo-fibonacci/#i_36833

INDE (Arts et culture) - Les sciences

  • Écrit par 
  • Francis ZIMMERMANN
  •  • 14 264 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « L'œuvre d'Āryabhaṭa »  : […] dix stances en mètre gīti ») exprime des nombres astronomiques importants au moyen d'une notation numérique en puissances de cent à l'aide de l'alphabet sanskrit, très originale, mais restée sans suite en Inde. Les 25 consonnes occlusives dans l'ordre alphabétique traditionnel valent de 1 à 25, soit : ka = 1, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/inde-arts-et-culture-les-sciences/#i_36833

INDE (Arts et culture) - Les mathématiques

  • Écrit par 
  • Agathe KELLER
  •  • 5 548 mots
  •  • 4 médias

Dans le chapitre « La numération positionnelle décimale, une invention du sous-continent indien? »  : […] Il faut distinguer ici ce que disent les textes savants, de ce que transmettent les inscriptions épigraphiques qui, elles, témoignent de l’usage de systèmes de numération dans l’administration : les systèmes de notation des nombres n’étaient pas nécessairement unifiés sur l’ensemble du territoire à un moment donné […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/inde/#i_36833

LEIBNIZ : CALCUL DIFFÉRENTIEL

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 214 mots
  •  • 1 média

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) publie en 1684 les détails de son calcul différentiel dans son traité Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus. Il y reprend ses découvertes antérieures. Il avait introduit la notation […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/leibniz-calcul-differentiel/#i_36833

LOGIQUE

  • Écrit par 
  • Robert BLANCHÉ, 
  • Jan SEBESTIK
  •  • 12 996 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Leibniz »  : […] Partant de la syllogistique, Leibniz construit des calculs logiques rédigés dans un symbolisme nouveau de type algébrique et étend son calcul au-delà du syllogisme. Il conçoit toute une hiérarchie de calculs auxquels son calcul logique devra servir de base : le calcul arithmétique (y compris l' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/logique/#i_36833

MATHÉMATIQUE

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 6 365 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Un langage précis d'origine éclectique »  : […] Le langage mathématique est constitué par : des symboles (lettres, chiffres et autres signes) et des combinaisons (ou assemblages) de symboles désignant des objets mathématiques ou des propositions (c'est-à-dire des énoncés de propriétés d'objets mathématiques) ; des mots et des locutions désignant des objets mathématiques ou des propriétés d' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/mathematique/#i_36833

NOMBRES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 1 785 mots

Dans le chapitre « Numération »  : […] Dans une numération écrite d'addition, dont on trouve des exemples à Sumer, dans l'Égypte, la Chine et l'Inde anciennes ou chez les Aztèques, les symboles sont librement placés et leurs valeurs numériques sont additionnées. Une inscription de ce type se trouve sur une tête de massue attribuée au roi Narmer (période prédynastique, soit avant 5600 […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombre/#i_36833

RÉELS NOMBRES

  • Écrit par 
  • Jean DHOMBRES
  •  • 15 294 mots

Dans le chapitre « Un modèle universel »  : […] xixe, on utilise pour désigner une proportion la notation suivante, qui est au mieux une écriture ordonnée :avec cette écriture, les règles précédentes n'ont pas de visualisation évidente. On peut s'étonner d'un tel manque d'imagination chez les mathématiciens, d'habitude plus prompts, et […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-reels/#i_36833

STEVIN SIMON (1548-1620)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 362 mots

Mathématicien et ingénieur flamand, né à Bruges et mort à La Haye. Simon Stevin vulgarisa l'usage des fractions décimales et contribua à la réfutation de la doctrine d'Aristote prétendant que les corps lourds tombent plus rapidement que les corps légers. Clerc de marchand à Anvers pour un temps, […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/simon-stevin/#i_36833

SYMBOLISATION, physique

  • Écrit par 
  • Jean-Marc LÉVY-LEBLOND
  •  • 1 424 mots

Dans le chapitre « Naissance d'un langage mathématique »  : […] qui transforme profondément le rapport des mathématiques et de la physique à l'écriture. Leibniz est d'ailleurs à l'origine de la plupart des symboles qui vont permettre une véritable écriture mathématique, à la fois autonome et intégrée au discours. Ces symboles seront souvent des lettres de l'alphabet, mais dotées d'une signification largement […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/symbolisation-physique/#i_36833

VIÈTE FRANÇOIS (1540-1603)

  • Écrit par 
  • Jean GRISARD
  •  • 1 387 mots

Dans le chapitre « L'art analytique »  : […] Le numéro 1 est une introduction de l'ensemble et la présentation de la méthode. Celle-ci consiste à représenter les grandeurs par des lettres ; ainsi, une expression que nous écririons :était écrite par Viète (cf. p. 819 la reproduction d'une page des Zététiques) de la manière suivante : […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/francois-viete/#i_36833

WALLIS JOHN (1616-1703)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 558 mots

Mathématicien anglais né le 23 novembre 1616 à Ashford (Kent) et mort le 28 octobre 1703 à Oxford, Wallis est un des plus illustres précurseurs d'Isaac Newton. En 1632, il entre au collège Emmanuel de Cambridge, où il se distingue dans de nombreux domaines. Environ huit ans plus tard, il obtient une bourse au Queens' College […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/john-wallis/#i_36833

Voir aussi

Pour citer l’article

Hans FREUDENTHAL, « NOTATION MATHÉMATIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 14 novembre 2018. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/notation-mathematique/