MÉTHODE

Différentes méthodes pour différentes sciences ?

Peut-on classer les sciences d'après leurs méthodes ? Ou bien d'après leur manière d'utiliser leurs méthodes ? La méthode représente-t-elle la même chose pour toutes les sciences ? Généralement, « méthode » a un sens vague, et la méthodologie n'est pas préceptive : comment prescrirait-on aux scientifiques ce qu'ils devraient faire, quand on n'est pas d'accord sur ce qu'ils font ? On s'accorde à dire qu'il existe des méthodes – pour des problèmes limités, locaux –, des méthodes spéciales. La méthode, en général, est une chimère.

On caractérise quelquefois la méthode des mathématiques de démonstrative, particularité qui tient à ce que cette discipline porte sur des formes dégagées des faits qui ont pu les suggérer. Les idées, épurées de manière à devenir des formes, se prêtent à l'application de règles strictes (formalisation). Ainsi la « méthode » des mathématiques est logique. Ce n'est pas l'essentiel. Attendu que les formes sont susceptibles d'une pluralité de réalisations, des liaisons en résultent entre les théories. De là d'autres aspects de la « méthode » en mathématiques. Elles comportent des méthodes à deux niveaux. Au niveau supérieur, on dit indifféremment théorie ou méthode, selon qu'on pense plus ou moins aux problèmes d'où sont nées les théories. Une méthode d'attaque de tel ou tel problème (par exemple la méthode du repère mobile de Darboux-Ribaucour) peut s'épanouir en une théorie qui déborde le domaine pour lequel elle a été introduite (en l'espèce la théorie des surfaces en géométrie différentielle classique). En mathématiques, les problèmes en vue de quoi théories ou méthodes sont inventées ne sont pas de ceux qui se résolvent par des routines de calcul mécanique. Citons à titre d'exemple la conjecture de Poincaré, désormais résolue : une variété compacte de dimension trois, simplement connexe et orientable, est-elle nécessairement homéomorphe à la sphère S³ ?

De plus, il arrive que les principaux résultats de ce qui sera systématisé en une théorie précèdent cette systématisation. Alors l'élément de méthode consiste à trouver le fil qui relie des énoncés disparates : ainsi les mathématiciens du xix^e siècle ont-ils mis de l'ordre dans les découvertes effectuées par ceux du siècle précédent. La « méthode axiomatique », ou plus modestement l'axiomatisation, consiste à chercher un petit nombre de propositions d'où il soit possible de déduire la totalité présumée des théorèmes obtenus sur un sujet donné. On groupe aussi en axiomes les propriétés fondamentales de telles ou telles classes d'entités (structures), les caractères d'un type d'objet ou d'un concept (déterminant, fonction holomorphe...). Il en résulte davantage de clarté et de sûreté, ainsi qu'une meilleure compréhension. L'algèbre linéaire, la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, la mécanique analytique (méthode géométrique pour les problèmes de la mécanique, notamment céleste) peuvent indifféremment passer pour des théories ou pour des méthodes. À un niveau inférieur, des théorèmes dits constructifs donnent un procédé de calcul d'une valeur (racine d'une équation, valeur d'une intégrale définie, etc.). D'une démonstration il est parfois possible d'extraire une recette. Dans des situations simples (équations linéaires, sommation de séries géométriques convergentes, intégration de certains types d'équations différentielles, etc.), on dispose de procédés de calcul qui conduisent au but les yeux fermés. (Ailleurs, par exemple pour les équations aux dérivées partielles du second ordre, on n'a pas de méthode[...]