GROUPES (mathématiques)Représentation linéaire des groupes

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Les généralisations

La théorie classique, exposée ci-dessus, a été au fil des années généralisée de plusieurs façons. L'une d'elles consiste à remplacer le corps C des nombres complexes par un autre corps K. Si le corps K est de caractéristique zéro, ou p (l'entier p étant un nombre premier qui ne divise pas l'ordre fini |G| de G), la théorie des représentations linéaires de G sur les espaces vectoriels de dimension finie sur K se réduit facilement à la théorie classique des caractères complexes de G, et l'on n'obtient aucune notion nouvelle. Par contre, si la caractéristique p de K est un nombre premier qui divise l'ordre |G|, on trouve une nouvelle famille de représentations irréductibles et de caractères de G, les caractères modulaires. L'étude de ces caractères modulaires et de leurs relations avec les caractères complexes, due surtout à R. Brauer, a permis de trouver, pour ces derniers, des lois et identités nouvelles. Plusieurs théorèmes importants sur les groupes simples n'ont pu être démontrés que grâce à la théorie de ces caractères.

Une autre famille de généralisations de la théorie classique concerne les représentations unitaires continues d'un groupe topologique sur un espace de Hilbert. Un groupe topologique G est un groupe muni d'une topologie par rapport à laquelle la multiplication et l'inversion sont des applications continues. Un espace hilbertien V est un espace vectoriel sur les nombres complexes C muni d'un produit hermitien (v) (c'est-à-dire une application de V × V dans C telle que l'application ↦ (v) est linéaire pour tout v dans V, (v) = (u) pour tout u et v dans V, et (u) est un nombre réel strictement positif pour tout ≠ 0 dans V) et complet pour la norme ∥v∥ = (v)1/2 définie par ce produit hermitien. Une opération linéaire de G sur V est continue si l'application (σ, uv) → (σu) est continue en tant qu'application de G × V × V dans C. Elle est unitaire si elle conserve le produit hermitien (σ| σv) = (v) pour tout σ dans G et tout u, v dans V. On dit, [...]

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ALGÈBRE

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Dans le chapitre « La structure de groupe »  : […] La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et H. Poincaré a pu dire que la notion de groupe préexiste dans notre esprit car la géométrie ne se c […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre/#i_13366

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CHAMPS THÉORIE DES

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Dans le chapitre «  Théories de jauge et description des interactions nucléaires »  : […] Les premiers essais pour décrire les interactions nucléaires dans le cadre des théories quantiques des champs arguaient de la portée limitée des forces nucléaires comme une preuve que les champs échangés entre les protons et les neutrons d'un noyau atomique, par exemple, étaient quantifiés en des particules de masse intermédiaire entre celles des électrons et des protons ; ces […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-champs/#i_13366

CHEVALLEY CLAUDE (1909-1984)

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Fils d'ambassadeur, né à Johannesburg, Chevalley a fait la plus grande partie de ses études à Paris, où il fut élève de l'École normale supérieure, de 1926 à 1929. Il a enseigné à l'université de Rennes, puis aux États-Unis, aux universités de Princeton et de Columbia (New York). Il termina sa carrière comme professeur et correspondant de l'Académie des sciences à l'université de Paris. Ses travau […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/claude-chevalley/#i_13366

DIEUDONNÉ JEAN (1906-1992)

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Les travaux de ce mathématicien français, né le 1 er  juillet 1906 à Lille, concernent d'importants domaines de la topologie et de l'algèbre. Depuis 1935, et jusqu'à ces dernières années, Dieudonné a collaboré très activement à l'élaboration des Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki . En 1968, il a été élu à l'Académie des sciences. En topolog […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jean-dieudonne/#i_13366

FROBENIUS GEORG FERDINAND (1849-1917)

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  • Bernard PIRE
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Mathématicien allemand, connu en particulier pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 26 octobre 1849 à Charlottenburg, près de Berlin (Prusse), Georg Ferdinand Frobenius était le fils d'un pasteur protestant. Après des études secondaires au lycée Joachimsthal de Berlin, il passe un semestre à l'université de Göttingen puis continue ses études universitaires à Berlin où il profite des cours […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/georg-ferdinand-frobenius/#i_13366

GALOIS ÉVARISTE (1811-1832)

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GÉNÉRATEUR, mathématique

  • Écrit par 
  • André WARUSFEL
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Soit E un ensemble muni d'une opération interne associative notée par le symbole ∗ et que nous appellerons multiplication pour simplifier. Il sera dit monogène , ou encore posséder un générateur a , si tout élément de E peut s'écrire comme un produit fini de n facteurs tous égaux à a . Par définition d'un pro […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/generateur-mathematique/#i_13366

GÉOMÉTRIE

  • Écrit par 
  • François RUSSO
  •  • 10 634 mots
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Dans le chapitre « Transformations et groupes »  : […] Le rôle des transformations, en géométrie, ne fut pleinement compris que lorsque Klein leur associa la notion de groupe (cf. groupes [mathématiques] – Groupes classiques et géométrie), introduite par Évariste Galois (1811-1832) en 1830, et diffusée seulement en 1870 par le Traité des substitutions et des équations algébriques de Camille Jordan (1838- […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/geometrie/#i_13366

GROUPES DE GALOIS

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
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L'unique mémoire d'Évariste Galois (1811-1832), Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux , présenté à l'Académie des sciences en 1831, reçut un avis défavorable de son rapporteur Siméon-Denis Poisson ; pourtant, l'importance de ce travail dans le développement de la théorie des groupes est maintenant universellement reconnue. Galois montrait l'intérêt d'a […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-de-galois/#i_13366

LIE GROUPES DE

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 176 mots

La publication des trois volumes du traité intitulé Theorie der Transformationsgruppen , de 1888 à 1893, synthétise l'apport fondamental du mathématicien norvégien Sophus Lie (1842-1899) à la théorie des groupes. Écrit en collaboration avec Friedrich Engel, cet ouvrage rassemble les nombreux résultats obtenus à partir de 1873 sur les groupes continus de transformation. Dans l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-de-lie/#i_13366

HALL PHILIP (1904-1982)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 428 mots

Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 11 avril 1904 à Hampstead près de Londres, abandonné par son père dès sa naissance, Philip Hall passe son enfance dans un milieu pauvre et fait ses études élémentaires au Christ's Hospital de Londres. Élève brillant, il est admis au King's College de l'université de Cambridge en octobre 1922. Dans son premier essai sur les iso […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/philip-hall/#i_13366

HIGMAN GRAHAM (1917-2008)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 357 mots

Mathématicien britannique spécialiste de la théorie des groupes né le 19 janvier 1917, mort le 8 avril 2008. Fils d'un pasteur de l'Église anglicane, Graham Higman fait des études secondaires à Plymouth, puis obtient une bourse pour étudier à l'université d'Oxford. Il y accomplit son travail de thèse en mathématiques pures sous la direction d'Henry Whitehead (1904-1960) sur les anneaux de groupes. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/graham-higman/#i_13366

INVARIANT, mathématique

  • Écrit par 
  • Nicole BERLINE
  •  • 1 753 mots

À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax 2 + 2 bxy + cy 2 + 2 ux + 2 […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/invariant-mathematique/#i_13366

KODAIRA KUNIHIKO (1915-1997)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 254 mots

Né à Tōkyō (Japon), Kodaira Kunihiko fit des études de mathématiques et de physique théorique à l'université de sa ville natale, où il fut ensuite professeur. En 1949, il va enseigner à l'Institute for Advanced Study, puis à l'université de Princeton. En 1954, il obtint la médaille Fields pour sa théorie des intégrales harmoniques et ses applications aux variétés algébriques. Ses premiers travaux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/kodaira/#i_13366

LIE SOPHUS (1842-1899)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 333 mots

Dans le chapitre « L'œuvre de Lie »  : […] La vocation mathématique de Sophus Lie, né à Nordfjordeid en 1842, ne se révéla qu'assez tard, à la lecture en 1865 des travaux de Julius Plücker sur les complexes de droites. Sa rencontre à Berlin avec le jeune Félix Klein (1849-1925), en 1869, allait être le début d'une longue et fructueuse amitié. Les deux mathématiciens viennent à Paris et découvrent les travaux de Galois et de Jordan qui all […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sophus-lie/#i_13366

MALTSEV ANATOLI IVANOVITCH (1909-1967)

  • Écrit par 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 633 mots

Mathématicien soviétique, célèbre pour ses travaux en logique et en algèbre. Les premiers écrits de Maltsev contiennent les idées essentielles d'une bonne partie de son œuvre. Dans son premier et plus célèbre article, Untersuchungen aus dem Gebiete der Mathematischen Logik , 1936, Maltsev démontre la version la plus générale (aucune restriction de cardinalité) du théorème de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/anatoli-ivanovitch-maltsev/#i_13366

MODÈLES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • Daniel ANDLER, 
  • Daniel LASCAR, 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 7 958 mots

Dans le chapitre « Théorie des modèles et algèbre traditionnelle »  : […] Il devrait être maintenant clair que les débuts de la théorie des modèles sont assez voisins de l'algèbre générale. Il n'est donc pas étonnant qu'il y ait eu de nombreuses applications de cette théorie à des problèmes purement algébriques. Il faut cependant dire que les premières applications « essentielles » de la théorie des modèles à l'algèbre datent de la fin des années cinquante. Jusque-là, l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-modeles/#i_13366

NICOLAS BOURBAKI (A. Aczel)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 894 mots

Sous-titré « Histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé », le livre (éd. J.-C. Lattès, Paris, 2009) qu'Amir Aczel – chercheur au Centre d'histoire des sciences de l'université de Boston (États-Unis) – consacre au groupe Bourbaki et à son influence sur les mathématiques du xx e  siècle est un hommage objectif et fort documenté aux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nicolas-bourbaki/#i_13366

OBJET UNIVERSEL, mathématique

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 1 106 mots

Des objets universels apparaissent dans de multiples contextes mathématiques, mais l'idée de base est commune : un objet universel est un objet à partir duquel tous les autres membres de la famille considérée peuvent se reconstruire. Par conséquent, un objet universel est, quand il existe, le plus grand, le plus général de la famille. L'existence d'un tel objet permet d'économiser des démonstratio […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/objet-universel-mathematique/#i_13366

PONTRIAGUINE LEV SEMENOVITCH (1908-1988)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 204 mots

Mathématicien russe, membre de l'Académie des sciences (1958), Prix Staline (1941), Prix Lénine (1962). Né à Moscou, Pontriaguine perd la vue à quatorze ans et achève néanmoins ses études à l'université de Moscou en 1929. Ses travaux concernent essentiellement la topologie et les groupes topologiques. En 1932, il découvre la loi générale de dualité, qui affirme que le dual du dual d'un groupe comm […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/lev-semenovitch-pontriaguine/#i_13366

RAMAN EFFET

  • Écrit par 
  • Michel DELHAYE
  •  • 6 453 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Symétrie des vibrations et théorie des groupes »  : […] Si les variations du moment électrique et de la polarisabilité paraissent intuitivement accessibles pour des molécules di- ou triatomiques, il n'en est pas de même pour des édifices polyatomiques à grand nombre d'atomes, les plus intéressants de nos jours en chimie ou en biologie. Une méthode très élégante permet de tourner cette difficulté, en se fondant uniquement sur les propriétés de symétrie […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/effet-raman/#i_13366

RÉFLEXIONS SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS (J. L. Lagrange)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 195 mots

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publie en 1770 les Réflexions sur la résolution algébrique des équations dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin , Académie où il avait succédé à Leonhard Euler comme directeur des mathématiques. Ce texte commence par un hommage appuyé aux travaux des fondateurs de l'analyse : «  […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/reflexions-sur-la-resolution-algebrique-des-equations/#i_13366

SCHUR ISSAÏ (1875-1941)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 257 mots

Mathématicien allemand d'origine russe, né à Mohilev et mort à Tel-Aviv. Issaï Schur fit ses études secondaires à Libau (Lettonie) et ses études supérieures à l'université de Berlin, où il fut l'élève de Frobenius. Il enseigna à Bonn de 1911 à 1916, puis à Berlin, jusqu'au moment où les lois raciales l'obligèrent à abandonner sa chaire, en 1935 ; il put émigrer, en 1939, en Palestine, où il devait […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/issai-schur/#i_13366

SYMÉTRIES, physique

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 5 990 mots

Dans le chapitre «  LES SYMÉTRIES BRISÉES »  : […] Lorsqu'un problème physique admet une symétrie décrite mathématiquement par un groupe G, chaque solution n'est pas forcément invariante par G. En fait, c'est plutôt l'ensemble des solutions qui est invariant par G. Un exemple classique est la cristallisation d'un liquide. Lorsque la température décroît, l'isotropie (c'est-à-dire l'équivalence de toutes les directions) de l'ensemble des atomes dis […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/symetries-physique/#i_13366

THOMPSON JOHN GRIGGS (1932- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 320 mots

Mathématicien américain, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 13 octobre 1932 à Ottawa dans le Kansas (États-Unis), John Griggs Thompson fait ses études supérieures à l'université Yale de New Haven (Connecticut), puis à l'université de Chicago où il soutient sa thèse de doctorat en 1959 sous la direction de Saunders Mac Lane. Assistant à l'université […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/john-griggs-thompson/#i_13366

TITS JACQUES (1930- )

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 547 mots

Mathématicien français d'origine belge, né le 12 août 1930 à Uccle, dans la banlieue de Bruxelles, lauréat du prix Abel en 2008. Très jeune, Jacques Tits lit les ouvrages mathématiques de la bibliothèque de son père mathématicien, qui meurt alors que Jacques n'a que treize ans. Il donne alors des cours particuliers à des élèves ayant quatre ans de plus que lui et préparant Polytechnique. À quator […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jacques-tits/#i_13366

TRESSES, mathématiques

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 5 097 mots
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Dans le chapitre « Un groupe aux multiples facettes »  : […] Ce qui rend les groupes de tresses spécialement intéressants est le fait que, à côté de la construction décrite ci-dessus, plusieurs autres approches a priori indépendantes mènent aux mêmes groupes et en révèlent des aspects complémentaires. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/tresses-mathematiques/#i_13366

WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 804 mots

Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en algèbre et en théorie des nombres. Né le 5 mai 1842 à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/heinrich-martin-weber/#i_13366

WIGNER EUGENE PAUL (1902-1994)

  • Écrit par 
  • Viorel SERGIESCO
  •  • 468 mots

Physicien théoricien américain d'origine hongroise (il est né le 17 novembre 1902 à Budapest), professeur à Princeton, Prix Nobel de physique en 1963 (avec M. Goeppert-Mayer et H. D. Jensen), auteur de contributions fondamentales à la physique mathématique et à la mécanique quantique en général, à la théorie du solide, à la physique nucléaire et à la physique des particules élémentaires en partic […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/eugene-paul-wigner/#i_13366

ZELMANOV EFIM ISAAKOVITCH (1955- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 201 mots

Mathématicien russe, lauréat de la médaille Fields en 1994 pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 7 septembre 1955 à Khabarovsk (Russie), Efim Isaakovitch Zelmanov fait ses études supérieures à l'université de Leningrad, puis à celle de Novosibirsk où il soutient sa thèse de doctorat en 1980. Membre de l'institut de mathématiques de l'Académie des sciences de l'U.R.S.S. à Novosibirsk jusqu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/efim-isaakovitch-zelmanov/#i_13366

Voir aussi

Pour citer l’article

Everett DADE, « GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 05 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-representation-lineaire-des-groupes/