INTÉGRATION ET MESURE

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La théorie de l'intégration joue en mathématique un rôle extrêmement important. C'est une théorie riche et complexe. Il ne sera pas question ici d'en donner une description exhaustive ni d'en aborder les assez redoutables aspects techniques. On s'efforcera de mettre en lumière les grandes idées simples qui y sont à l'œuvre et de montrer comment elles lient les aspects les plus élémentaires de la théorie de la mesure aux développements les plus généraux de la théorie de l'intégration.

Le problème initial Généralités

Mesurer est une activité dont l'existence est attestée dans toutes les sociétés historiques, et il est assez surprenant de constater que ce n'est que dans un passé relativement récent, au début du xxe siècle, que la réflexion mathématique a commencé à en établir une théorie claire et cohérente.

Il faut tout de suite remarquer que le problème, pris dans sa plus grande généralité, reste encore mystérieux : on ne sait pas encore très clairement, par exemple, le sens qu'il faut donner au mot « mesurer », ni même si on peut vraiment lui donner un sens dans le domaine des sciences humaines, bien qu'on ait l'impression qu'une bonne conception de la mesure puisse y être l'origine de progrès décisifs.

Il faut encore remarquer que le mot « mesure » a, en mathématique, un sens plus restreint qu'en physique, et que ce que le mathématicien appelle théorie de la mesure ne s'applique directement qu'à une partie de l'activité du physicien et ne vise que la structure conceptuelle à l'exclusion des procédés expérimentaux de détermination des valeurs numériques qui relèvent de la métrologie.

Ce qui a retardé la naissance d'une bonne théorie de la mesure a été l'incapacité où est demeurée longtemps l'humanité de distinguer nettement entre ce que l'on mesure d'une part et l'échelle avec laquelle on mesure d'autre part, et de concevoir clairement ce qui les lie. L'échelle est constituée par le corps ordonné R des nombres réels (cf. nombres réels), dont la théorie définitive n'a été élaborée qu'à la fin du xixe siècle (G. Cantor, R. Dedekind), mais qui avait été déjà presque totalement construit par le mathématicien grec Eudoxe, au ive siècle avant J.-C., sous le nom, que la tradition a conservé, de mesure des grandeurs (et de rapports de grandeurs), qui est révélateur de la confusion signalée plus haut. En réalité, Eudoxe ne considérait que ce que nous appelons les nombres réels positifs. Il le faisait d'une manière rigoureusement correcte et extrêmement pure : il est émouvant pour le mathématicien contemporain de constater le souci, très moderne, qu'a montré Eudoxe de ne rien introduire qu'il ne puisse construire par combinaison de concepts préalablement bien délimités. Mais sa construction, impeccable au point de vue de la rigueur, en ce qui concerne l'édification d'une échelle de valeurs, était beaucoup moins claire en ce qui concerne les « grandeurs ». Elle était en outre d'une complexité qui l'a rendue inutilisable pour la plupart de ses successeurs ; ceux-ci ne l'ont pas comprise et n'en ont retenu que des bribes, qu'ils se sont transmises avec une telle persévérance qu'on les trouve encore à l'état de vestiges peu intelligibles dans la plupart des manuels élémentaires. Ce qui a manqué à Eudoxe, c'est une autre idée très moderne qui consiste, lorsque l'on a construit, à partir d'un matériel conceptuel initial, de nouveaux êtres mathématiques très complexes par rapport aux éléments initiaux, à considérer les propriétés essentielles de ces nouveaux êtres et à repartir en les prenant à leur tour comme éléments initiaux d'une nouvelle construction. Dans la construction d'Eudoxe, comme dans celle de Dedekind, un réel apparaît comme un ensemble de rationnels, chaque rationnel étant lui-même un ensemble de couples d'entiers ; mais Eudoxe reste fidèle au langage des entiers, tandis que Dedekind dégage explicitement la structure du corps totalement ordonné archimédien et complet des réels. (À noter d'ailleurs que l'axiome dit d'Archimède est explicitement attribué à Eudoxe par Archimède lui-même.)

C'est l'apparition presque simultanée d'une bonne théorie des nombres réels et de la notion d'ensemble qui a créé les conditions favorables à la naissance de la théorie moderne de la mesure.

Formulation de la question

Reprenons la question dans un cas simple : tout le monde a appris à calculer la surface ou l'aire de certaines régions du plan, et les mathématiciens des siècles passés ont consacré beaucoup d'efforts à calculer les aires de régions de plus en plus compliquées, sans jamais cependant dire très explicitement pourquoi ils menaient leurs calculs comme ils le faisaient, ni ce qu'ils attendaient du résultat. Expliciter les idées non formulées qui présidaient à ces recherches n'eut pas pour seul effet de satisfaire les exigences de rigueur et d'esthétique du mathématicien, cela lui permit de forger les outils propres à déterminer, puis à étendre le domaine de validité de ces calculs et de les effectuer dans tous les cas où ils sont valables.

Qu'attendons-nous en effet de ces calculs d'aire ? Ils permettent (une unité d'aire étant choisie) d'attribuer à chaque région du plan d'un certain type un nombre réel positif que l'on appelle son aire, la propriété essentielle étant souvent exprimée par le fait que l'on peut « ajouter » des aires, ce que l'on peut décrire sous une première forme en disant que, si une région R apparaît comme formée de deux régions R1 et R2 « qui n'empiètent pas l'une sur l'autre », l'aire de R est la somme des aires de R1 et de R2. Deux régions telles que l'on puisse les « transporter » (au moins idéalement) l'une sur l'autre ont des aires égales.

Si l'on veut préciser ces idées, il faut d'abord savoir ce que l'on entend par « région » du plan. Le plan étant considéré comme un ensemble dont les éléments sont les points, le projet le plus ambitieux sera de considérer que tout sous-ensemble du plan doit avoir une aire. Cela signifierait donc que l'on peut définir une application m (appelée mesure universelle) de l'ensemble P(Π) de toutes les parties du plan Π dans l'ensemble des nombres réels positifs, et que cette application a les propriétés d'additivité et d'invariance par isométrie.

Additivité. Pour tout couple (A, B) de parties disjointes du plan (c'est-à-dire telles que A ∩ B = ∅), on a :

Cette condition peut être également formulée sous la forme équivalente suivante :

et alors, pour tout couple de parties (A, B), du plan :
ce qui permet de préciser le sens de « ne pas empiéter l'un sur l'autre » par « avoir une intersection d'aire nulle ».

Invariance par isométrie. Quelle que soit la partie A du plan, et quelle que soit l'isométrie τ du plan (une isométrie est une bijection du plan sur le plan qui conserve la distance), on a :

Cette définition précise étant donnée, deux problèmes se posent : Existe-t-il [...]

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Écrit par :

  • : professeur à la faculté des sciences de Paris, directeur de l'Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques

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Pour citer l’article

André REVUZ, « INTÉGRATION ET MESURE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/integration-et-mesure/