GROUPES (mathématiques)Représentation linéaire des groupes

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles d'un groupe fini G, introduits pour mieux classer les représentations linéaires, sont vitaux pour la théorie moderne des groupes simples.

Représentation des groupes

À chaque système mathématique S est associé son groupe de symétries (ou d'automorphismes) Σ(S). On considère ces groupes Σ(S) comme étant concrets. Une représentation R d'un groupe quelconque G comme groupe de symétries de S est un homomorphisme σ ↦ Rσ de G dans le groupe concret Σ(S). Elle donne une réalisation de la loi de composition abstraite de G comme loi de composition concrète dans Σ(S).

La théorie des représentations cherche les conséquences, pour les deux structures S et G, de l'existence d'une représentation R, et les utilise pour démontrer des théorèmes qui n'ont quelquefois rien à voir avec les représentations ; par exemple, le théorème de Feit et Thompson : tout groupe d'ordre impair est résoluble. Seules les relations entre S et G étant intéressantes, la tendance moderne est de les définir directement et de supprimer le groupe Σ(S) et l'homomorphisme R. Voici, sur un exemple, comment on procède.

Une opération d'un groupe G sur un ensemble E est une loi de composition externe, envoyant tout élément σ de G et tout élément x de E sur un élément σx de E, et suppose que cette loi satisfait aux conditions :

pour tout x dans E,
pour tout σ, τ dans G et tout x dans E, où στ est le produit dans G, et 1 l'élément neutre de G. Ces conditions impliquent que, pour tout σ de G, l'application Rσ : ↦ σx est bijective de E sur E, c'est-à-dire que Rσ est une permutation sur l'ensemble E. Et l'application σ ↦ Rσ est un homomorphisme de G dans le groupe Σ(E) des permutations sur E (que l'on peut considérer comme les symétries de E). L'opération de G sur E détermine donc une représentation R de G comme groupe de sym [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 6 pages

Écrit par :

Classification

Autres références

«  GROUPES, mathématiques  » est également traité dans :

GROUPES (mathématiques) - Vue d'ensemble

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 774 mots

Les idées de symétrie et de régularité se retrouvent dans toutes les civilisations, bien avant que ne fût conçue la notion de groupe : par exemple, presque tous les groupes discrets de déplacements du plan (il y en a dix-sept types non isomorphes) sont sous-jacents aux multiples ornements géométriques imaginés par les artistes arabes. […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Généralités

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 229 mots
  •  • 1 média

On se propose de présenter ici les notions fondamentales de théorie des groupes qui interviendront constamment dans la suite des articles qui traitent des groupes. Ces articles contiennent un très grand nombre d'exemples, c'est pourquoi cet exposé introductif n'explicite que quelques groupes utilisés aussi ailleurs, notamment en cristallographie, en chimie, e […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 865 mots
  •  • 3 médias

Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique dans les directions de la […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes finis

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 5 062 mots

Née de l'étude des groupes de permutations des racines d'équations, la théorie des groupes finis s'est développée indépendamment depuis le Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan. Après les travaux importants de Burnside, de Frobenius et de […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 10 814 mots
  •  • 2 médias

La théorie des groupes de Lie, fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie, a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles, les […] Lire la suite

ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 7 218 mots

Dans le chapitre « La structure de groupe »  : […] La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et H. Poincaré a pu dire que la notion de groupe préexiste dans notre esprit car la géométrie ne se c […] Lire la suite

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 34 159 mots

Dans le chapitre « Espèce de structure de groupe-gradué de type A »  : […] Soit G  = (E,  l ) un groupe. Une famille de sous-groupes de G est une application f d'un ensemble A dans P (E) telle que, pour tout élément λ de A, ( f  (λ),  l | f  (λ) ) =  G λ soit un sous-groupe de G . Une graduation de type A sur G est une famille f de sous-groupes distingués de G telle que G soit produit direct de ses sous-groupes G λ i  = ( f  (λ i ),  l | f  (λ i ) ), i apparte […] Lire la suite

BOREL ARMAND (1923-2003)

  • Écrit par 
  • Pierre CARTIER
  •  • 791 mots

En 1992, le mathématicien Armand Borel a reçu le prix international Balzan « pour ses contributions fondamentales à la théorie des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes arithmétiques, et pour son action inlassable en faveur de la recherche mathématique et de la propagation des idées nouvelles ». En effet, il excellait tant dans la recherche fondamentale que dans l'animation et l'o […] Lire la suite

BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 394 mots

Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches jusqu'en 1885. Dans son premier article, daté de 1883, il étudie certaines propriétés des fonctions ell […] Lire la suite

CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 1 403 mots

Dans le chapitre « Une production considérable »  : […] La production de Cauchy a été considérable ; même ses contemporains lui reprochaient à juste titre sa hâte inconsidérée à livrer souvent à l'impression des débauches indignes de son génie, et il y a évidemment un déchet non négligeable dans le demi-millier de notes qu'il a publiées aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Il n'en est pas moins vrai que, même en faisant abstraction de ses tr […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Everett DADE, « GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 05 octobre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-representation-lineaire-des-groupes/