GROUPES (mathématiques)Représentation linéaire des groupes

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Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles d'un groupe fini G, introduits pour mieux classer les représentations linéaires, sont vitaux pour la théorie moderne des groupes simples.

Représentation des groupes

À chaque système mathématique S est associé son groupe de symétries (ou d'automorphismes) Σ(S). On considère ces groupes Σ(S) comme étant concrets. Une représentation R d'un groupe quelconque G comme groupe de symétries de S est un homomorphisme σ ↦ Rσ de G dans le groupe concret Σ(S). Elle donne une réalisation de la loi de composition abstraite de G comme loi de composition concrète dans Σ(S).

La théorie des représentations cherche les conséquences, pour les deux structures S et G, de l'existence d'une représentation R, et les utilise pour démontrer des théorèmes qui n'ont quelquefois rien à voir avec les représentations ; par exemple, le théorème de Feit et Thompson : tout groupe d'ordre impair est résoluble. Seules les relations entre S et G étant intéressantes, la tendance moderne est de les définir directement et de supprimer le groupe Σ(S) et l'homomorphisme R. Voici, sur un exemple, comment on procède.

Une opération d'un groupe G sur un ensemble E est une loi de composition externe, envoyant tout élément σ de G et tout élément x de E sur un élément σx de E, et suppose que cette loi satisfait aux conditions :

pour tout x dans E,
pour tout σ, τ dans G et tout x dans E, où στ est le produit dans G, et 1 l'élément neutre de G. Ces conditions impliquent que, pour tout σ de G, l'application Rσ : ↦ σx est bijective de E sur E, c'est-à-dire que Rσ est une permutation sur l'ensemble E. Et l'application σ ↦ Rσ est un homomorphisme de G dans le groupe Σ(E) des permutations sur E (que l'on peut considérer comme les symétries de E). L'opération de G sur E détermine donc une représentation R de G comme groupe de sym [...]

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CHEVALLEY CLAUDE (1909-1984)

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DIEUDONNÉ JEAN (1906-1992)

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FROBENIUS GEORG FERDINAND (1849-1917)

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GALOIS ÉVARISTE (1811-1832)

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GÉNÉRATEUR, mathématique

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  • François RUSSO
  •  • 10 634 mots
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GROUPES DE GALOIS

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
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L'unique mémoire d'Évariste Galois (1811-1832), Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux , présenté à l'Académie des sciences en 1831, reçut un avis défavorable de son rapporteur Siméon-Denis Poisson ; pourtant, l'importance de ce travail dans le développement de la théorie des groupes est maintenant universellement reconnue. G […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-de-galois/#i_13366

HALL PHILIP (1904-1982)

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  • Bernard PIRE
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Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 11 avril 1904 à Hampstead près de Londres, abandonné par son père dès sa naissance, Philip Hall passe son enfance dans un milieu pauvre et fait ses études élémentaires au Christ's Hospital de Londres. Élève brillant, il est admis au King's College de l'université de Cambridge e […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/philip-hall/#i_13366

HIGMAN GRAHAM (1917-2008)

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  • Bernard PIRE
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Mathématicien britannique spécialiste de la théorie des groupes né le 19 janvier 1917, mort le 8 avril 2008. Fils d'un pasteur de l'Église anglicane, Graham Higman fait des études secondaires à Plymouth, puis obtient une bourse pour étudier à l'université d'Oxford. Il y accomplit son travail de thèse en mathématiques pures sous la direction d'Henry […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/graham-higman/#i_13366

INVARIANT, mathématique

  • Écrit par 
  • Nicole BERLINE
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À l'origine, la notion d'invariant est relative à un changement de repère en géométrie. L'un des premiers exemples concerne les coniques, c'est-à-dire les courbes, dans le plan, données par une équation du second degré ax 2 + 2 bxy + cy 2 + 2 ux + 2 vy + w = 0. Comment reconnaître sur leurs coefficients a , b , c , u , v , w et a ', b ', c ' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/invariant-mathematique/#i_13366

KODAIRA KUNIHIKO (1915-1997)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
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Né à Tōkyō (Japon), Kodaira Kunihiko fit des études de mathématiques et de physique théorique à l'université de sa ville natale, où il fut ensuite professeur. En 1949, il va enseigner à l'Institute for Advanced Study, puis à l'université de Princeton. En 1954, il obtint la médaille Fields pour sa théorie des intégrales harmoniques et ses applicatio […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/kodaira/#i_13366

LIE GROUPES DE

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 176 mots

La publication des trois volumes du traité intitulé Theorie der Transformationsgruppen , de 1888 à 1893, synthétise l'apport fondamental du mathématicien norvégien Sophus Lie (1842-1899) à la théorie des groupes. Écrit en collaboration avec Friedrich Engel, cet ouvrage rassemble les nombreux résultats obtenus à partir de 1873 sur les groupes contin […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-de-lie/#i_13366

LIE SOPHUS (1842-1899)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 333 mots

Dans le chapitre « L'œuvre de Lie »  : […] La vocation mathématique de Sophus Lie, né à Nordfjordeid en 1842, ne se révéla qu'assez tard, à la lecture en 1865 des travaux de Julius Plücker sur les complexes de droites. Sa rencontre à Berlin avec le jeune Félix Klein (1849-1925), en 1869, allait être le début d'une longue et fructueuse amitié. Les deux mathématiciens viennent à Paris et déc […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sophus-lie/#i_13366

MALTSEV ANATOLI IVANOVITCH (1909-1967)

  • Écrit par 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 633 mots

Mathématicien soviétique, célèbre pour ses travaux en logique et en algèbre. Les premiers écrits de Maltsev contiennent les idées essentielles d'une bonne partie de son œuvre. Dans son premier et plus célèbre article, Untersuchungen aus dem Gebiete der Mathematischen Logik , 1936, Maltsev démontre la version la plus générale (aucune restriction de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/anatoli-ivanovitch-maltsev/#i_13366

MODÈLES THÉORIE DES

  • Écrit par 
  • Daniel ANDLER, 
  • Daniel LASCAR, 
  • Gabriel SABBAGH
  •  • 7 958 mots

Dans le chapitre « Théorie des modèles et algèbre traditionnelle »  : […] Il devrait être maintenant clair que les débuts de la théorie des modèles sont assez voisins de l'algèbre générale. Il n'est donc pas étonnant qu'il y ait eu de nombreuses applications de cette théorie à des problèmes purement algébriques. Il faut cependant dire que les premières applications « essentielles » de la théorie des modèles à l'algèbre d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-modeles/#i_13366

NICOLAS BOURBAKI (A. Aczel)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 894 mots

Sous-titré « Histoire d'un génie des mathématiques qui n'a jamais existé », le livre (éd. J.-C. Lattès, Paris, 2009) qu'Amir Aczel – chercheur au Centre d'histoire des sciences de l'université de Boston (États-Unis) – consacre au groupe Bourbaki et à son influence sur les mathématiques du xx e  siècle est un hommage objectif et fort documenté aux r […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nicolas-bourbaki/#i_13366

OBJET UNIVERSEL, mathématique

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
  •  • 1 106 mots

Des objets universels apparaissent dans de multiples contextes mathématiques, mais l'idée de base est commune : un objet universel est un objet à partir duquel tous les autres membres de la famille considérée peuvent se reconstruire. Par conséquent, un objet universel est, quand il existe, le plus grand, le plus général de la famille. L'existence d […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/objet-universel-mathematique/#i_13366

PONTRIAGUINE LEV SEMENOVITCH (1908-1988)

  • Écrit par 
  • Universalis
  •  • 204 mots

Mathématicien russe, membre de l'Académie des sciences (1958), Prix Staline (1941), Prix Lénine (1962). Né à Moscou, Pontriaguine perd la vue à quatorze ans et achève néanmoins ses études à l'université de Moscou en 1929. Ses travaux concernent essentiellement la topologie et les groupes topologiques. En 1932, il découvre la loi générale de dualité […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/lev-semenovitch-pontriaguine/#i_13366

RAMAN EFFET

  • Écrit par 
  • Michel DELHAYE
  •  • 6 453 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Symétrie des vibrations et théorie des groupes »  : […] Si les variations du moment électrique et de la polarisabilité paraissent intuitivement accessibles pour des molécules di- ou triatomiques, il n'en est pas de même pour des édifices polyatomiques à grand nombre d'atomes, les plus intéressants de nos jours en chimie ou en biologie. Une méthode très élégante permet de tourner cette difficulté, en se […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/effet-raman/#i_13366

RÉFLEXIONS SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS (J. L. Lagrange)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 195 mots

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) publie en 1770 les Réflexions sur la résolution algébrique des équations dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin , Académie où il avait succédé à Leonhard Euler comme directeur des mathématiques. Ce texte commence par un hommage appuyé aux travaux des fondateurs de l'analys […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/reflexions-sur-la-resolution-algebrique-des-equations/#i_13366

SCHUR ISSAÏ (1875-1941)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 257 mots

Mathématicien allemand d'origine russe, né à Mohilev et mort à Tel-Aviv. Issaï Schur fit ses études secondaires à Libau (Lettonie) et ses études supérieures à l'université de Berlin, où il fut l'élève de Frobenius. Il enseigna à Bonn de 1911 à 1916, puis à Berlin, jusqu'au moment où les lois raciales l'obligèrent à abandonner sa chaire, en 1935 ; i […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/issai-schur/#i_13366

SYMÉTRIES, physique

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 5 990 mots

Dans le chapitre «  LES SYMÉTRIES BRISÉES »  : […] Lorsqu'un problème physique admet une symétrie décrite mathématiquement par un groupe G, chaque solution n'est pas forcément invariante par G. En fait, c'est plutôt l'ensemble des solutions qui est invariant par G. Un exemple classique est la cristallisation d'un liquide. Lorsque la température décroît, l'isotropie (c'est-à-dire l'équivalence de t […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/symetries-physique/#i_13366

THOMPSON JOHN GRIGGS (1932- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
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Mathématicien américain, lauréat de la médaille Fields en 1970 pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 13 octobre 1932 à Ottawa dans le Kansas (États-Unis), John Griggs Thompson fait ses études supérieures à l'université Yale de New Haven (Connecticut), puis à l'université de Chicago où il soutient sa thèse de doctorat en 1959 sous la direct […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/john-griggs-thompson/#i_13366

TITS JACQUES (1930- )

  • Écrit par 
  • Universalis
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Mathématicien français d'origine belge, né le 12 août 1930 à Uccle, dans la banlieue de Bruxelles, lauréat du prix Abel en 2008. Très jeune, Jacques Tits lit les ouvrages mathématiques de la bibliothèque de son père mathématicien, qui meurt alors que Jacques n'a que treize ans. Il donne alors des cours particuliers à des élèves ayant quatre ans de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jacques-tits/#i_13366

TRESSES, mathématiques

  • Écrit par 
  • Patrick DEHORNOY
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Dans le chapitre « Un groupe aux multiples facettes »  : […] Ce qui rend les groupes de tresses spécialement intéressants est le fait que, à côté de la construction décrite ci-dessus, plusieurs autres approches a priori indépendantes mènent aux mêmes groupes et en révèlent des aspects complémentaires. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/tresses-mathematiques/#i_13366

WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
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Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en algè […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/heinrich-martin-weber/#i_13366

WIGNER EUGENE PAUL (1902-1994)

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  • Viorel SERGIESCO
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Physicien théoricien américain d'origine hongroise (il est né le 17 novembre 1902 à Budapest), professeur à Princeton, Prix Nobel de physique en 1963 (avec M. Goeppert-Mayer et H. D. Jensen), auteur de contributions fondamentales à la physique mathématique et à la mécanique quantique en général, à la théorie du solide, à la physique nucléaire et à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/eugene-paul-wigner/#i_13366

ZELMANOV EFIM ISAAKOVITCH (1955- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 201 mots

Mathématicien russe, lauréat de la médaille Fields en 1994 pour ses travaux en théorie des groupes. Né le 7 septembre 1955 à Khabarovsk (Russie), Efim Isaakovitch Zelmanov fait ses études supérieures à l'université de Leningrad, puis à celle de Novosibirsk où il soutient sa thèse de doctorat en 1980. Membre de l'institut de mathématiques de l'Acadé […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/efim-isaakovitch-zelmanov/#i_13366

Voir aussi

Pour citer l’article

Everett DADE, « GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 janvier 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-representation-lineaire-des-groupes/