Universalis
Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

GROUPES (mathématiques) Représentation linéaire des groupes

Développée d'abord comme moyen de classification des différentes apparences du même groupe G comme groupe de transformations linéaires, la théorie des représentations linéaires est devenue un des outils les plus puissants pour l'étude de la structure de G. En particulier, les caractères irréductibles d'un groupe fini G, introduits pour mieux classer les représentations linéaires, sont vitaux pour la théorie moderne des groupes simples.

Représentation des groupes

À chaque système mathématique S est associé son groupe de symétries (ou d'automorphismes) Σ(S). On considère ces groupes Σ(S) comme étant concrets. Une représentation R d'un groupe quelconque G comme groupe de symétries de S est un homomorphisme σ ↦ Rσ de G dans le groupe concret Σ(S). Elle donne une réalisation de la loi de composition abstraite de G comme loi de composition concrète dans Σ(S).

La théorie des représentations cherche les conséquences, pour les deux structures S et G, de l'existence d'une représentation R, et les utilise pour démontrer des théorèmes qui n'ont quelquefois rien à voir avec les représentations ; par exemple, le théorème de Feit et Thompson : tout groupe d'ordre impair est résoluble. Seules les relations entre S et G étant intéressantes, la tendance moderne est de les définir directement et de supprimer le groupe Σ(S) et l'homomorphisme R. Voici, sur un exemple, comment on procède.

Une opération d'un groupe G sur un ensemble E est une loi de composition externe, envoyant tout élément σ de G et tout élément x de E sur un élément σx de E, et suppose que cette loi satisfait aux conditions :

pour tout x dans E,
pour tout σ, τ dans G et tout x dans E, où στ est le produit dans G, et 1 l'élément neutre de G. Ces conditions impliquent que, pour tout σ de G, l'application Rσ : x ↦ σx est bijective de E sur E, c'est-à-dire que Rσ est une permutation sur l'ensemble E. Et l'application σ ↦ Rσ est un homomorphisme de G dans le groupe Σ(E) des permutations sur E (que l'on peut considérer comme les symétries de E). L'opération de G sur E détermine donc une représentation R de G comme groupe de symétries de E. En fait, la représentation et l'opération ne sont que deux façons de voir la même chose, car la première détermine la seconde par la relation σx = Rσ(x), pour tout σ de G et tout x de E.

Une représentation linéaire d'un groupe G est une représentation de G comme groupe de symétries d'un espace vectoriel. Rappelons qu'un espace vectoriel V sur un corps K est un groupe additif muni d'une loi de composition externe, qui envoie tout élément λ de K et tout élément v de V sur un élément λv de V, et qui est telle que les combinaisons linéaires λ1v1 + ... + λnvn d'éléments v1, ..., vn de V à coefficients λ1, ..., λn dans K obéissent aux règles ordinaires de calcul. Une opération linéaire de G sur V est une opération de G sur l'ensemble V, satisfaisant à la condition de linéarité :

pour tout σ de G, tout λ1, ..., λn de K, et tout v1, ..., vn de V. Chaque application Rσ : v ↦ σv est alors une transformation linéaire bijective de V sur lui-même, et l'homomorphisme σ ↦ R′σ est une représentation linéaire de G sur V. On dit alors que V est un G-espace.

On dit que deux représentations σ ↦ Rσ et σ ↦ Rσ′ sur des espaces vectoriels V et V′ sont équivalentes (ou isomorphes) s'il existe un isomorphisme linéaire de V sur V′ tel que Rσ = ϕ-1 ∘ R′σ ∘ ϕ pour tout σ ∈ G, ce qui équivaut à ϕ ∘ Rσ = R′σ ∘ ϕ.

Il y a une autre façon, souvent utile, de considérer les représentations linéaires. Supposons que l'espace vectoriel V ait une base finie v1, ..., vd, c'est-à-dire que tout élément[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

Classification

Pour citer cet article

Everett DADE. GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • ALGÈBRE

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 7 143 mots
    La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et...

  • ALGÉBRIQUES STRUCTURES

    • Écrit par Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
    • 29 463 mots
    Un groupe peut être défini indifféremment comme un monoïde (E, l) tel que tout élément de E soit symétrisable, ou comme un magma associatif unifère (E, l) tel que tout élément de E soit symétrisable, ou comme un groupoïde ayant un et un seul élément neutre. Tout semi-groupe fini est un groupe....

  • BOREL ARMAND (1923-2003)

    • Écrit par Pierre CARTIER
    • 795 mots

    En 1992, le mathématicien Armand Borel a reçu le prix international Balzan « pour ses contributions fondamentales à la théorie des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes arithmétiques, et pour son action inlassable en faveur de la recherche mathématique et de la propagation...

  • BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 394 mots

    Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches...

  • Afficher les 35 références

Voir aussi

Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

Rejoignez-nous

Inscrivez-vous à notre newsletter