GROUPES (mathématiques)Représentation linéaire des groupes

Applications aux groupes finis

Les caractères irréductibles χ₁, ..., χ_c d'un groupe fini G forment un outil très puissant dans l'étude de G. On considère leurs valeurs comme des invariants numériques de G, invariants qui doivent satisfaire à plusieurs conditions fortes, comme les relations d'orthogonalité, et qui sont liés à la structure algébrique de G. On combine ces conditions et ces relations pour montrer des théorèmes parfois surprenants sur G.

On utilise d'abord les caractères pour trouver des sous-groupes distingués de G. Pour i = 1, ..., c, soit W_i un G-espace ayant χ_i pour caractère ; on appelle noyau de χ_i, le sous-groupe distingué Ker(χ_i) formé de tous les σ de G opérant trivialement sur W_i par σw = w, pour tout w dans W_i. Il est important de noter que ce sous-groupe distingué est caractérisé par les valeurs de χ_i : c'est l'ensemble de tous les éléments σ de G tels que χ_i(σ) = χ_i(1).

Il n'y a qu'un seul caractère χ_i tel que Ker(χ_i) = G, le caractère trivial χ₁ dont les valeurs sont χ₁(σ) = 1 pour tout σ de G. Pour tout caractère non trivial χ_i, i ≥ 2, il existe un élément σ de G tel que χ_i(σ) ≠ χ_i(1).

On peut aussi montrer que, pour tout élément σ ≠ 1 de G, il existe au moins un caractère non trivial χ_i tel que χ_i(σ) ≠ χ_i(1).

Une connaissance très grossière des valeurs des caractères de G peut permettre de prouver l'existence d'un sous-groupe distingué K qui soit non trivial (K ≠ {1}, K ≠ G). Il suffit de trouver un seul élément σ ≠ 1 et un seul caractère non trivial χ_i tel que χ_i(1) = χ_i(σ). Le sous-groupe K = Ker(χ_i) est alors un sous-groupe distingué non trivial.

On s'intéresse aux relations entre la structure des sous-groupes de G et les caractères de G. Une de ces relations a trait aux ensembles à intersections triviales. Un tel ensemble S est un sous-ensemble d'un sous-groupe H, appelé normalisateur de S, dont les conjugués σ^-1Sσ satisfont à :

si σ appartient à H ;si σ est dans G mais non dans H.

Voici un exemple d'un tel ensemble S : pour tout σ de G, on désigne par Rac(σ) l'ensemble de tous les τ de G qui sont racines de σ (il existe n tel que τⁿ = σ). Rac(σ) est un ensemble à intersections triviales, et le sous-groupe H est le normalisateur du sous-groupe cyclique < σ > engendré par σ. C'est le groupe formé de tous les éléments ρ de G, tels que ρ^-1 < σ > ρ = < σ >.

Soit ϕ₁, ..., ϕ_c les caractères irréductibles de H. On désigne par X(H | S) le groupe additif formé des combinaisons linéaires :

(à coefficients entiers a_i) qui s'annulent hors de S. La fonction induite ψ^G, définie par (5), appartient alors au groupe X(G) formé des combinaisons linéaires à coefficients entiers des χ₁, ..., χ_c. Les conditions (7) et la formule (5) entraînent :pour tout σ dans S et tout ψ dans X(H | S).

En combinant cette équation avec la loi de réciprocité (6), on trouve que l'application ψ ↦ ψ^G est une isométrie X(H | S) ↦ X(G), c'est-à-dire que l'on a :

pour tout ϕ et ψ dans X(H|S).

Frobenius fut le premier à utiliser cette isométrie. Il considéra le cas où S est égal au sous-groupe H moins l'élément neutre 1. On désigne par K le sous-ensemble de tous les éléments τ de G qui n'appartiennent à aucun conjugué σ^-1Sσ de S. Le théorème de Frobenius dit que l'ensemble K est un sous-groupe distingué de G. On appelle groupe de Frobenius tout groupe G possédant un sous-groupe H différent de {1} et de G, ayant la propriété énoncée dans le théorème de Frobenius. Le sous-groupe distingué K s'appelle le noyau de Frobenius (cf. groupes [mathématiques] - Groupes finis).

La théorie des caractères exceptionnels est basée sur l'isométrie (9). Supposons que ϕ_i et ϕ_j soient deux caractères irréductibles distincts de H tels que ϕ_i − ϕ_j appartienne à X(H | S). On a alors :

pour certains entiers a₁, ..., a_c. L'isométrie (9) et les relations d'orthogonalité (4) donnent :

Mais les a_i sont des entiers. Ils sont donc tous nuls, sauf deux d'entre eux, a_i et a_j, qui valent ± 1. Si a_i = a_j = ± 1, on a :

ce qui est impossible, car les degrés χ_i(1) et χ_j(1) sont des entiers strictement positifs. On a donc :

On dit que χ_i et χ_j sont les caractères exceptionnels de G correspondant à ϕ_i et ϕ_j. À cause de (5), ces deux caractères sont égaux en dehors des conjugués de S. Sur ces conjugués, leur différence est déterminée par (8). Ce type de résultat intervient, par exemple, dans la démonstration par Feit et Thompson de leur célèbre théorème : « Tout groupe d'ordre impair est résoluble. » Feit et Thompson utilisent la théorie des caractères exceptionnels pour des isométries [...]

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