GROUPES (mathématiques) Représentation linéaire des groupes

Applications aux groupes finis

Les caractères irréductibles χ₁, ..., χ_c d'un groupe fini G forment un outil très puissant dans l'étude de G. On considère leurs valeurs comme des invariants numériques de G, invariants qui doivent satisfaire à plusieurs conditions fortes, comme les relations d'orthogonalité, et qui sont liés à la structure algébrique de G. On combine ces conditions et ces relations pour montrer des théorèmes parfois surprenants sur G.

On utilise d'abord les caractères pour trouver des sous-groupes distingués de G. Pour i = 1, ..., c, soit W_i un G-espace ayant χ_i pour caractère ; on appelle noyau de χ_i, le sous-groupe distingué Ker(χ_i) formé de tous les σ de G opérant trivialement sur W_i par σw = w, pour tout w dans W_i. Il est important de noter que ce sous-groupe distingué est caractérisé par les valeurs de χ_i : c'est l'ensemble de tous les éléments σ de G tels que χ_i(σ) = χ_i(1).

Il n'y a qu'un seul caractère χ_i tel que Ker(χ_i) = G, le caractère trivial χ₁ dont les valeurs sont χ₁(σ) = 1 pour tout σ de G. Pour tout caractère non trivial χ_i, i ≥ 2, il existe un élément σ de G tel que χ_i(σ) ≠ χ_i(1).

On peut aussi montrer que, pour tout élément σ ≠ 1 de G, il existe au moins un caractère non trivial χ_i tel que χ_i(σ) ≠ χ_i(1).

Une connaissance très grossière des valeurs des caractères de G peut permettre de prouver l'existence d'un sous-groupe distingué K qui soit non trivial (K ≠ {1}, K ≠ G). Il suffit de trouver un seul élément σ ≠ 1 et un seul caractère non trivial χ_i tel que χ_i(1) = χ_i(σ). Le sous-groupe K = Ker(χ_i) est alors un sous-groupe distingué non trivial.

On s'intéresse aux relations entre la structure des sous-groupes de G et les caractères de G. Une de ces relations a trait aux ensembles à intersections triviales. Un tel ensemble S est un sous-ensemble d'un sous-groupe H, appelé normalisateur de S, dont les conjugués σ^-1Sσ satisfont à :

si σ appartient à H ;si σ est dans G mais non dans H.

Voici un exemple d'un tel ensemble S : pour tout σ de G, on désigne par Rac(σ) l'ensemble de tous les τ de G qui sont racines de σ (il existe n tel que τⁿ = σ). Rac(σ) est un ensemble à intersections triviales, et le sous-groupe H est le normalisateur du sous-groupe cyclique < σ > engendré par σ. C'est le groupe formé de tous les éléments ρ de G, tels que ρ^-1< σ > ρ = < σ >.

Soit ϕ₁, ..., ϕ_c les caractères irréductibles de H. On désigne par X(H | S) le groupe additif formé des combinaisons linéaires :

(à coefficients entiers a_i) qui s'annulent hors de S. La fonction induite ψ^G, définie par (5), appartient alors au groupe X(G) formé des combinaisons linéaires à coefficients entiers des χ₁, ..., χ_c. Les conditions (7) et la formule (5) entraînent :pour tout σ dans S et tout ψ dans X(H | S).

En combinant cette équation avec la loi de réciprocité (6), on trouve que l'application ψ ↦ ψ^G est une isométrie X(H | S) ↦ X(G), c'est-à-dire que l'on a :

pour tout ϕ et ψ dans X(H|S).

Frobenius fut le premier à utiliser cette isométrie. Il considéra le cas où S est égal au sous-groupe H moins l'élément neutre 1. On désigne par K le sous-ensemble de tous les éléments τ de G qui n'appartiennent à aucun conjugué σ^-1Sσ de S. Le théorème de Frobenius dit que l'ensemble K est un sous-groupe distingué de G. On appelle groupe de Frobenius tout groupe G possédant un sous-groupe H différent de {1} et de G, ayant la propriété énoncée dans le théorème de Frobenius. Le sous-groupe distingué K s'appelle le noyau de Frobenius (cf. groupes [mathématiques] - Groupes finis).

La théorie des caractères exceptionnels est basée sur l'isométrie[...]