GROUPES (mathématiques)Représentation linéaire des groupes

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Théorie des représentations linéaires d'un groupe fini

La théorie classique trouvée par G. Frobenius, W. Burnside, et I. Schur dans la période 1890-1910 est la base de toutes les généralisations modernes. Cette théorie s'applique aux représentations linéaires d'un groupe fini G sur des espaces vectoriels de dimensions finies (c'est-à-dire ayant une base finie) sur le corps C des nombres complexes.

On cherche, d'abord, à classer les G-espaces, à des isomorphismes près. Un G-espace V est G-isomorphe à un G-espace U s'il existe une application linéaire bijective f de V sur U qui conserve les opérations de G : v) = σ(v), pour tout σ dans G, et tout v dans V, c'est-à-dire si les représentations linéaires sont équivalentes.

L'outil principal de la classification des opérations linéaires de G sur des espaces vectoriels V est la décomposition des espaces V en somme directe de sous-espaces stables. Un sous-espace de V est un sous-ensemble U, qui est fermé pour la formation de combinaisons linéaires d'éléments ; U est donc lui-même un espace vectoriel avec, pour lois de composition, les restrictions des lois de composition de V. Le sous-espace U est stable par G s'il est fermé pour l'opération de G sur U, c'est-à-dire si σu appartient à U pour tout σ dans G et tout u dans U. Dans ce cas, la restriction à U de l'opération de G sur V est une opération linéaire de G sur U. Soit U1, ..., Uk des sous-espaces stables de V. On dit que V est la somme directe U1 ⊕ ... ⊕ Uk des Ui, si tout élément v de V a une expression unique de la forme :

ui appartient à Ui pour i = 1, ..., k.

Les éléments u1, ..., uk sont les composantes de v pour la décomposition V = U1 ⊕ ... ⊕ Uk. La correspondance :

est une bijection de V sur le produit cartésien U1 × ... × Uk ; les lois de composition de V et l'opération de G sur V se calculent à partir des structures des Ui par les relations :
où λ appartient au corps, σ au groupe, et où v′ est un élément de V ayant comme composante les éléments u1, ..., uk. La décomposition V = U⊕ ... ⊕ Uk donne donc une analyse de la structure de V au moyen de celles des Ui.

Si G opère sur un espace vectoriel U ≠ {0}, et s'il n'y a aucun sous-espace stable par G, sauf U et {0}, on dit que le G-espace U est irréductible. La classification des opérations linéaires d'un groupe fini G sur des espaces vectoriels V de dimension finie sur le corps C des nombres complexes est contenue dans les deux énoncés suivants : (3a) l'espace V a au moins une décomposition : V = U⊕ ... ⊕ Uk, en somme directe de sous-espaces stables et irréductibles U1, ..., Uk ; (3b) si V = U′1 ⊕ ... ⊕ U′l est une autre telle décomposition, alors l = k et, après une permutation convenable des indices, Ui est G-isomorphe à U′i, pour i = 1, ..., k.

Pour tout G-espace irréductible W, on définit la multiplicité, m(W dans V), de W dans V. C'est le nombre des indices = 1, ..., l pour lesquels W est G-isomorphe à Ui. À cause de (3 b), cette multiplicité est indépendante de la décomposition V = U1 ⊕ ... ⊕ Uk. Donc deux G-espaces V et V′ sont isomorphes si, et seulement si :

pour tout G-espace irréductible W.

Frobenius découvrit une méthode très simple de calcul des multiplicités m(W dans V) en utilisant les caractères. On définit un produit hermitien (|g)G sur l'espace vectoriel Fct(G, C) de toutes les fonctions de G dans C par :

pour tout f et g dans Fct(G, C), où g(σ) désigne le complexe conjugué de g(σ) et |G| est l'ordre de G, c'est-à-dire le nombre d'éléments dans le groupe fini G. Si W et U sont deux G-espaces irréductibles de dimension finie sur G, Frobenius a démontré les relations d'orthogonalité suivantes, pour leurs caractères χW et χU :
si W est G-isomorphe à U ;
si W n'est pas G-isomorphe à U.

La décomposition, V = U⊕ ... ⊕ Uk, entraîne pour les caractères la relation :

On a donc, d'après les relations d'orthogonalité (4), la formule suivante pour la multiplicité de W dans V :

On voit que le caractère χV détermine les multiplicités m(W dans V). Le G-espace V est donc déterminé à un isomorphisme près par son caractère χV.

Les relations d'orthogonalité (4) montrent que les caractères irréductibles (les caractères des G-espaces irréductibles) distincts sont des fonctions linéairement indépendantes sur le groupe fini G. Il n'y a donc qu'un nombre fini χ1, ..., χc de tels caractères. On peut alors montrer que le nombre c des caractères irréductibles de G est égal au nombr [...]

1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 6 pages

Écrit par :

Classification

Autres références

«  GROUPES, mathématiques  » est également traité dans :

GROUPES (mathématiques) - Vue d'ensemble

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 774 mots

Les idées de symétrie et de régularité se retrouvent dans toutes les civilisations, bien avant que ne fût conçue la notion de groupe : par exemple, presque tous les groupes discrets de déplacements du plan (il y en a dix-sept types non isomorphes) sont sous-jacents aux multiples ornements géométriques imaginés par les artistes arabes. […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Généralités

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 229 mots
  •  • 1 média

On se propose de présenter ici les notions fondamentales de théorie des groupes qui interviendront constamment dans la suite des articles qui traitent des groupes. Ces articles contiennent un très grand nombre d'exemples, c'est pourquoi cet exposé introductif n'explicite que quelques groupes utilisés aussi ailleurs, notamment en cristallographie, en chimie, e […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes classiques et géométrie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 8 865 mots
  •  • 3 médias

Jusque vers 1800, la géométrie dite « élémentaire » est restée à peu de chose près ce qu'elle était dans l'Antiquité, tant dans sa substance que dans ses méthodes (l'invention de la « géométrie analytique » ayant à peu près exclusivement servi à prolonger le champ d'action de la géométrie classique dans les directions de la […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes finis

  • Écrit par 
  • Everett DADE
  •  • 5 062 mots

Née de l'étude des groupes de permutations des racines d'équations, la théorie des groupes finis s'est développée indépendamment depuis le Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan. Après les travaux importants de Burnside, de Frobenius et de […] Lire la suite

GROUPES (mathématiques) - Groupes de Lie

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 10 814 mots
  •  • 2 médias

La théorie des groupes de Lie, fondée dans la période de 1870-1880 par le mathématicien norvégien Sophus Lie, a d'abord été considérée comme une partie assez marginale des mathématiques, liée à des problèmes touchant les équations différentielles, les […] Lire la suite

ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 7 218 mots

Dans le chapitre « La structure de groupe »  : […] La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et H. Poincaré a pu dire que la notion de groupe préexiste dans notre esprit car la géométrie ne se c […] Lire la suite

ALGÉBRIQUES STRUCTURES

  • Écrit par 
  • Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN
  •  • 34 159 mots

Dans le chapitre « Espèce de structure de groupe-gradué de type A »  : […] Soit G  = (E,  l ) un groupe. Une famille de sous-groupes de G est une application f d'un ensemble A dans P (E) telle que, pour tout élément λ de A, ( f  (λ),  l | f  (λ) ) =  G λ soit un sous-groupe de G . Une graduation de type A sur G est une famille f de sous-groupes distingués de G telle que G soit produit direct de ses sous-groupes G λ i  = ( f  (λ i ),  l | f  (λ i ) ), i apparte […] Lire la suite

BOREL ARMAND (1923-2003)

  • Écrit par 
  • Pierre CARTIER
  •  • 791 mots

En 1992, le mathématicien Armand Borel a reçu le prix international Balzan « pour ses contributions fondamentales à la théorie des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes arithmétiques, et pour son action inlassable en faveur de la recherche mathématique et de la propagation des idées nouvelles ». En effet, il excellait tant dans la recherche fondamentale que dans l'animation et l'o […] Lire la suite

BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 394 mots

Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches jusqu'en 1885. Dans son premier article, daté de 1883, il étudie certaines propriétés des fonctions ell […] Lire la suite

CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

  • Écrit par 
  • Jean DIEUDONNÉ
  •  • 1 403 mots

Dans le chapitre « Une production considérable »  : […] La production de Cauchy a été considérable ; même ses contemporains lui reprochaient à juste titre sa hâte inconsidérée à livrer souvent à l'impression des débauches indignes de son génie, et il y a évidemment un déchet non négligeable dans le demi-millier de notes qu'il a publiées aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Il n'en est pas moins vrai que, même en faisant abstraction de ses tr […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Everett DADE, « GROUPES (mathématiques) - Représentation linéaire des groupes », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 mai 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/groupes-mathematiques-representation-lineaire-des-groupes/