CRISTAUX

Les groupes d'espace

Un cristal peut avoir une maille élémentaire qui n'a pas toutes les symétries de son réseau de translation. Le groupe ponctuel du réseau de translation représente la symétrie maximale du cristal, mais en général cette symétrie est plus faible du fait de la composition de la maille cristalline. Au lieu de s'intéresser séparément aux translations et aux rotations qui conservent le cristal, on considère les transformations « euclidiennes », combinaisons d'une translation et d'une rotation, qui ont la propriété de conserver le cristal. Une transformation euclidienne notée (t, r) transforme le point x en t + r(x), t étant un vecteur de translation et r une rotation. Cela définit le groupe d'espace. Il contient évidemment des translations pures de la forme (t, 1) qui forment un groupe de translation, mais il ne contient pas forcément des rotations pures. C'est le cas des transformations hélicoïdales, où une rotation r est associée à une translation t parallèle à l'axe de r, et des plans de glissement, où une symétrie par rapport à un plan est associée à une translation parallèle au plan. Dans ces deux cas, la partie translation (t, 1) de la transformation n'est pas dans le réseau de translation. La théorie des groupes d'espace a été élaborée simultanément par Fedorov et Schönflies. Ils ont énuméré les 230 groupes d'espace possibles. Il est tout à fait remarquable que tous ces groupes, à l'exception d'une dizaine, soient réalisés par des cristaux réels.

L'étude des cristaux modulés et des quasi-cristaux fait apparaître d'autres groupes. Certains quasi-cristaux ont pour groupe ponctuel le groupe de symétrie de l'icosaèdre, qui contient 120 transformations. Ce groupe contient des rotations d'ordre 5, d'angle 72⁰, qui sont incompatibles avec les réseaux à trois dimensions, mais qui cessent de l'être dans des réseaux de dimension supérieure.

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