CRISTAUX

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Les systèmes cristallins et les réseaux de Bravais

La notion de cristal repose historiquement sur des observations de minéralogistes. En effet, pour une espèce chimique donnée, le sel par exemple, bien que les cristaux soient de tailles et de formes très variables, leurs facettes forment entre elles un petit nombre d'angles différents que l'on retrouve d'un échantillon à un autre. D'où l'idée que ces cristaux étaient faits d'empilements réguliers de « briques élémentaires » identiques dont la géométrie se manifestait indirectement dans leur forme extérieure. Ainsi les cristaux de chlorure de sodium adoptent-ils fréquemment la forme extérieure d'un octaèdre, c'est-à-dire d'une double pyramide à base carrée, que l'on peut construire très simplement en collant des cubes. On notera que la mise en forme mathématique de ces constatations expérimentales nécessite d'imaginer des cristaux infinis, qui bien évidemment n'existent pas dans la nature. C'est en effet à cette condition que l'on peut parler de réseaux dont le prototype est le réseau cubique formé d'un empilement infini dans les trois directions de cubes identiques collés face contre face. Plus généralement, un réseau est défini comme l'ensemble de tous les points dont les coordonnées sont entières par rapport à une certaine base de l'espace. Autrement dit, si trois vecteurs (a, b, c) forment une base de l'espace à trois dimensions, le réseau correspondant est l'ensemble des points xma + nbpc, où m, n et p sont des nombres entiers, positifs ou négatifs. Un réseau cubique simple est obtenu lorsque les vecteurs de base sont orthogonaux entre eux et de même longueur.

Les réseaux de translation

Dans le cas de la plupart des métaux purs, les atomes sont situés sur les nœuds d'un réseau, et on ne fait pas la distinction entre l'ensemble des positions atomiques et le réseau lui-même. Cependant, cette distinction s'impose dès que le cristal est un peu plus compliqué. Le réseau associé à un cristal supposé infini est défini comme l'ensemble des vecteurs de translation qui superposent le cristal à lui-même. Dans le cas de la structure du chlorure de césium, les ions occupent tous les nœuds d'un réseau cubique centré, mais le vecteur, égal à une demi-diagonale, translate les ions chlore sur les ions césium : il n'appartient donc pas au réseau de cette structure, qui est cubique simple. Plus généralement, un cristal peut être décrit comme la répétition périodique dans l'espace d'une unité dite « maille élémentaire » et qui peut contenir plusieurs atomes (jusqu'à plusieurs centaines). La présence d'un réseau de translation implique l'existence de familles de plans cristallins identiques, que l'on identifie par leur orientation dans le réseau. Le plan cristallin qui coupe les trois axes de base du réseau engendré par (a, b, c) en ha, kb et lc est représenté par les trois nombres entiers h, k, et l, que l'on appelle ses indices de Miller.

Les symétries ponctuelles

La première classification des réseaux de translation est fondée sur leurs propriétés de symétrie « ponctuelle ». Si L est un réseau, le « groupe ponctuel » associé est l'ensemble des rotations ou des retournements de l'espace qui transforment le réseau L en lui-même. Dans le cas du réseau cubique, on trouve ainsi 48 transformations qui ont cette propriété. La plus simple, en dehors de la transformation identique, est la symétrie centrale qui transforme x en — x, c'est-à-dire qui transforme la base (abc) en base (— a, — b, — c). On trouve également les transformations qui changent (a, b, c) en (– abc), en (— a, — bc), en (bac), etc. Le groupe ponctuel du cube contient en particulier des rotations d'ordre 4 (d'angle π/2), d'ordre 3 (d'angle 2π/3) et d'ordre 2 (d'angle π). La classification des réseaux en systèmes cristallins repose sur l'analyse de leur groupe ponctuel : deux réseaux L et L' appartiennent au même système cristallin si leurs groupes ponctuels sont identiques (après avoir éventuellement tourné l'un des deux réseaux). Cette classification aboutit aux sept classes suivantes (entre parenthèses figure le nombre de transformations du groupe) : cubique (48), hexagonale (24), quadratique (16), rhomboédrique (12), orthorhombique (8), monoclinique (4) et triclinique (2). Le système cubique, caractérisé par le groupe ponctuel du cube, est le plus symétrique. Le système triclinique est le moins symétrique, car son groupe pon [...]

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Pour citer l’article

Marc AUDIER, Michel DUNEAU, « CRISTAUX », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/cristaux/