CONVEXITÉ Ensembles convexes

Définitions

Soit x et y, deux points distincts d'un espace vectoriel réel E (cf. algèbre linéaire). Par analogie avec le cas de l'espace usuel R³ (représentation paramétrique de la droite définie par deux points), on appelle droite joignant x et y l'ensemble des points de E de la forme :

Par définition, on appelle sous-variété linéaire de E tout sous-ensemble de E qui contient toute droite joignant deux quelconques de ses points ; par exemple, dans l'espace usuel R³, les sous-variétés linéaires sont : l'ensemble vide, les ensembles réduits à un point, les droites, les plans et l'espace R³ tout entier. Toute sous-variété linéaire V de E est la translatée d'un sous-espace vectoriel de E, c'est-à-dire l'ensemble des points de la forme a + x, où a est un élément fixé de V et où x parcourt un sous-espace vectoriel F de E ; si F est de dimension finie p, on dit que V est de dimension p.

Par analogie avec le cas des plans dans R³, on appelle hyperplan de E toute sous-variété linéaire qui n'est contenue strictement dans aucune autre variété linéaire que E lui-même ; par exemple, les hyperplans de Rⁿ sont les variétés linéaires de dimension n − 1. Le complémentaire (ensembliste) d'un hyperplan H est la réunion (ensembliste) de deux ensembles convexes disjoints appelés les demi-espaces ouverts limités par H ; leurs réunions avec H s'appellent les demi-espaces fermés limités par H. On dit que deux ensembles X et Y sont séparés par H si l'un est contenu dans un de ces deux demi-espaces fermés et l'autre dans l'autre demi-espace ; on dit que H est un hyperplan d'appui de X au point x si x appartient à X et si X et x sont séparés par H. La figure donne un exemple d'un hyperplan H d'appui de X en x, séparant X et Y (ici E = R², et H est une droite).

Ensembles convexes

Un sous-ensemble C de E est dit convexe si pour tout couple x, y de points distincts de C, le segment[x, y]est entièrement contenu dans C. Il est clair que toute intersection d'ensembles convexes est encore un ensemble[...]