CONVEXITÉEnsembles convexes

Un sous-ensemble C d'un espace vectoriel réel E est dit convexe si, pour tout couple de points quelconques de C, le segment qui a pour extrémités ces deux points est entièrement contenu dans C. Par exemple, un cube est convexe, mais sa surface ne l'est pas, car elle ne contient le segment d'extrémités x et y que si x et y appartiennent à la même face. Les ensembles convexes interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques et il est souvent possible, en pareil cas, d'obtenir d'intéressants résultats en ne faisant appel qu'à des arguments « géométriques » relativement élémentaires.

Minkowski (1864-1909) fut le premier à étudier systématiquement les ensembles convexes et ses œuvres contiennent la plupart des idées importantes utilisées pour ce sujet. Les premiers développements se limitaient aux espaces vectoriels de dimension finie et l'objet principal de ces études était de résoudre des problèmes de nature quantitative ; depuis 1940, les aspects combinatoires et qualitatifs ont bénéficié d'une plus grande attention. Après quelques préliminaires généraux, on traitera d'abord les aspects quantitatifs et combinatoires, en se limitant au cas où l'espace est de dimension finie ; on abordera ensuite les aspects qualitatifs de la théorie et ses applications à l'analyse fonctionnelle.

Un des aspects les plus fascinants de la théorie des ensembles convexes est le grand nombre de problèmes très faciles et intuitifs à formuler que l'on ne sait pas toujours résoudre.

Propriétés générales

Définitions

Soit x et y, deux points distincts d'un espace vectoriel réel E (cf. algèbre linéaire). Par analogie avec le cas de l'espace usuel R³ (représentation paramétrique de la droite définie par deux points), on appelle droite joignant x et y l'ensemble des points de E de la forme :

où λ est un nombre réel quelconque. Les points tels que λ ≥ 0 constituent la demi-droite xy d'origine x ; les points tels que 0 ≤ λ ≤ 1 constituent le segment [x, y] d'extrémités x et y.

Par définition, on appelle sous-variété linéaire de E tout sous-ensemble de E qui contient toute droite joignant deux quelconques de ses points ; par exemple, dans l'espace usuel R³, les sous-variétés linéaires sont : l'ensemble vide, les ensembles réduits à un point, les droites, les plans et l'espace R³ tout entier. Toute sous-variété linéaire V de E est la translatée d'un sous-espace vectoriel de E, c'est-à-dire l'ensemble des points de la forme a + x, où a est un élément fixé de V et où x parcourt un sous-espace vectoriel F de E ; si F est de dimension finie p, on dit que V est de dimension p.

Par analogie avec le cas des plans dans R³, on appelle hyperplan de E toute sous-variété linéaire qui n'est contenue strictement dans aucune autre variété linéaire que E lui-même ; par exemple, les hyperplans de Rⁿ sont les variétés linéaires de dimension n − 1. Le complémentaire (ensembliste) d'un hyperplan H est la réunion (ensembliste) de deux ensembles convexes disjoints appelés les demi-espaces ouverts limités par H ; leurs réunions avec H s'appellent les demi-espaces fermés limités par H. On dit que deux ensembles X et Y sont séparés par H si l'un est contenu dans un de ces deux demi-espaces fermés et l'autre dans l'autre demi-espace ; on dit que H est un hyperplan d'appui de X au point x si x appartient à X et si X et x sont séparés par H. La figure donne un exemple d'un hyperplan H d'appui de X en x, séparant X et Y (ici E = R², et H est une droite).

Ensembles convexes

Un sous-ensemble C de E est dit convexe si pour tout couple x, y de points distincts de C, le segment [x, y] est entièrement contenu dans C. Il est clair que toute intersection d'ensembles convexes est encore un ensemble convexe. Par suite, si X est un sous-ensemble quelconque de E, l'intersection X̃ de tous les ensembles convexes contenant X (il y en a toujours au moins un, E lui-même) est un ensemble convexe contenant X qui possède la propriété d'être contenu dans tout ensemble convexe contenant X ; X̃ s'appelle l'enveloppe convexe de X. On peut aussi définir X comme l'ensemble de toutes les combinaisons convexes des points de X, c'est-à-dire l'ensemble des points de la forme :

où les x_i sont des points de X et où les λ_i sont des nombres réels positifs quelconques de somme 1. On appelle enveloppe convexe fermée de X l'adhérence de X̃.

Les enveloppes convexes des sous-ensembles finis de Rⁿ sont appelées des polytopes (cf. infra). E [...]

1  2  3  4  5 …
pour nos abonnés,
l’article se compose de 8 pages

Afficher les 7 médias de l'article