CONVEXITÉEnsembles convexes

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Aspects qualitatifs

Contrairement à ce qui précède, les espaces considérés ici sont quelconques, et non nécessairement de dimension finie.

La convexité intervient de manière essentielle dans les espaces vectoriels de l'analyse : espaces vectoriels normés, ou plus généralement espaces vectoriels topologiques localement convexes, c'est-à-dire où tout point a un système fondamental de voisinages convexes ; on se limitera ici à de rapides indications, en renvoyant pour les définitions à l'article espaces vectoriels normés .

Espaces normés

On soulignera seulement le rôle de la convexité. Rappelons qu'une norme sur un espace vectoriel E (qui sera ici réel) est une fonction p à valeurs positives définie dans E telle que :

a) p(x) = 0 si et seulement si x = 0 ;

b) px) = |λ| p(x) pour ∈ E et λ ∈ R ;

c) p(y) ≤ p(x) + p(y) (sous-additivité).

Une norme est souvent notée ∥.∥.

L'étude des espaces vectoriels normés est, d'une certaine façon, l'équivalent de l'étude d'une classe d'ensembles convexes ; le lien est établi par la fonction de jauge. Si ∥.∥ est une norme sur E, on appelle boule unité (resp. sphère unité) pour cette norme l'ensemble des ∈ E tels que ∥x∥ ≤ (resp. ∥x∥ = 1). Les propriétés de la norme entraînent que la boule unité U est un ensemble convexe dont l'intersection avec toute droite passant par O est un segment symétrique [− x, x] (non réduit au point O). Réciproquement, soit U un ensemble convexe satisfaisant à ces propriétés ; pour tout ≠ 0, désignons par p(x) le plus petit entier positif λ tel que x/λ ∈ U et posons p(0) = 0 (la fonction p est appelée la jauge de l'ensemble U). On vérifie facilement que la jauge de U est une norme sur E pour laquelle U est la boule unité (en fait, la jauge d'un ensemble peut se définir sous des hypothèses beaucoup plus générales). Ainsi toutes les propriétés d'un espace normé peuvent être décrites uniquement en fonction de sa boule ou de sa sphère unité. Par exemple, la convexité stricte d'un espace vectoriel normé, caractérisée par l'inégalité stricte ∥x + y∥ < ∥x∥ + ∥y∥ lorsque x et y ne sont pas sur une même demi-droite d'origine O, équivaut au fait que sa sphère unité ne contient aucun segment.

On appelle espace de Minkowski tout espace vectoriel normé de dimension finie. Par exemple, pour tout ≥ 1 :

x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, est une norme sur Rn ; pour r = 2, on retrouve la norme euclidienne usuelle. Une autre norme importante sur Rn est la norme :
x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, pour laquelle la boule unité est l'hypercube de Rn.

Tous les problèmes quantitatifs indiqués ci-dessus ont fait l'objet d'études analogues pour les espaces de Minkowski : inégalité isopérimétrique, inégalité de Jung, etc.

Théorèmes de séparation

En analyse fonctionnelle, en théorie des jeux, en intégration et même dans certains problèmes relatifs aux graphes coloriés en théorie des graphes, on utilise des théorèmes de séparation et de support.

Les théorèmes de séparation établissent les conditions sous lesquelles on peut séparer (au sens du chapitre 1) deux sous-ensembles convexes disjoints X et Y d'un espace vectoriel topologique E. Pour que cela soit possible, il suffit, par exemple, que l'une des conditions suivantes soit réalisée :

a) E est de dimension finie ;

b) un des deux ensembles a un intérieur non vide ;

c) un des deux ensembles est fermé, l'autre compact, et E est localement convexe.

Dans chacun de ces cas, on peut choisir l'hyperplan de séparation fermé, c'est-à-dire défini comme l'ensemble des zéros d'une fonction affine continue.

Remarquant que l'intérieur d'un ensemble convexe est convexe, on en déduit que si A est un ensemble convexe d'intérieur non vide et A une sous-variété linéaire de E ne rencontrant pas l'intérieur de C, alors il existe un hyperplan qui contient A et qui sépare A de C (forme « géométrique » du théorème de Hahn-Banach). En particulier, si C est un ensemble convexe d'intérieur non vide, C admet un hyperplan d'appui en chaque point de sa frontière (théorème de Mazur). On ne peut pas étendre ce théorème au cas où C n'a pas de point intérieur, mais on peut montrer que, dans certains cas (C fermé dans un espace de Banach, ou C compact pour la topologie faible d'un espace localement convexe), les points de la frontière de C, où C admet un hyperplan d'appui, forment un sous-ensemble dense de la frontière de C.

Soit A une sous- [...]

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Pour citer l’article

Victor KLEE, « CONVEXITÉ - Ensembles convexes », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/convexite-ensembles-convexes/