CONVEXITÉEnsembles convexes

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Aspects qualitatifs

Contrairement à ce qui précède, les espaces considérés ici sont quelconques, et non nécessairement de dimension finie.

La convexité intervient de manière essentielle dans les espaces vectoriels de l'analyse : espaces vectoriels normés, ou plus généralement espaces vectoriels topologiques localement convexes, c'est-à-dire où tout point a un système fondamental de voisinages convexes ; on se limitera ici à de rapides indications, en renvoyant pour les définitions à l'article espaces vectoriels normés .

Espaces normés

On soulignera seulement le rôle de la convexité. Rappelons qu'une norme sur un espace vectoriel E (qui sera ici réel) est une fonction p à valeurs positives définie dans E telle que :

a) p(x) = 0 si et seulement si x = 0 ;

b) px) = |λ| p(x) pour ∈ E et λ ∈ R ;

c) p(y) ≤ p(x) + p(y) (sous-additivité).

Une norme est souvent notée ∥.∥.

L'étude des espaces vectoriels normés est, d'une certaine façon, l'équivalent de l'étude d'une classe d'ensembles convexes ; le lien est établi par la fonction de jauge. Si ∥.∥ est une norme sur E, on appelle boule unité (resp. sphère unité) pour cette norme l'ensemble des ∈ E tels que ∥x∥ ≤ (resp. ∥x∥ = 1). Les propriétés de la norme entraînent que la boule unité U est un ensemble convexe dont l'intersection avec toute droite passant par O est un segment symétrique [− x, x] (non réduit au point O). Réciproquement, soit U un ensemble convexe satisfaisant à ces propriétés ; pour tout ≠ 0, désignons par p(x) le plus petit entier positif λ tel que x/λ ∈ U et posons p(0) = 0 (la fonction p est appelée la jauge de l'ensemble U). On vérifie facilement que la jauge de U est une norme sur E pour laquelle U est la boule unité (en fait, la jauge d'un ensemble peut se définir sous des hypothèses beaucoup plus générales). Ainsi toutes les propriétés d'un espace normé peuvent être décrites uniquement en fonction de sa boule ou de sa sphère unité. Par exemple, la convexité stricte d'un espace vectoriel normé, caractérisée par l'inégalité stricte ∥x + y∥ < ∥x∥ [...]


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Pour citer l’article

Victor KLEE, « CONVEXITÉ - Ensembles convexes », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/convexite-ensembles-convexes/