OPTIMISATION & CONTRÔLE

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Problème de Dirichlet : solution

Problème de Dirichlet : solution
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Convexifiée

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L'avènement du calcul différentiel, au xviie siècle, a permis de caractériser le minimum d'une fonction f par l'équation f′(x) = 0. On résolvait ainsi d'un coup une foule de problèmes pratiques, tout en soulevant de grandes questions théoriques : peut-on affirmer a priori l'existence d'un minimum ? L'équation f′(x) = 0 donne-t-elle une caractérisation complète ? D'où trois grands axes de développement que l'on retrouve aujourd'hui : les problèmes d'existence, les conditions nécessaires et les conditions suffisantes.

Très vite, on a cherché à étendre ces procédés à des problèmes plus généraux, où l'on cherche non plus un point qui minimise une fonction, mais une courbe qui minimise une intégrale. Le xviiie et le xixe siècle sont l'âge d'or du calcul des variations et les plus grands, d'Euler à Hilbert en passant par Jacobi (cf. l. euler, d. hilbert, c. jacobi), y apportèrent tous leur contribution. La plupart des problèmes posés sont d'origine physique et mécanique et l'on s'intéresse moins à minimiser l'intégrale qu'à trouver une courbe qui satisfasse aux conditions nécessaires, les fameuses équations d'Euler-Lagrange.

Tout change dans la seconde moitié du xxe siècle. L'homme ne va plus chercher ses problèmes dans la nature, mais dans l'environnement qu'il se crée. En ingénierie, en gestion, on construit des systèmes complexes, susceptibles d'une modélisation mathématique précise, et dont l'opération se traduit par un coût ou un gain chiffrable. L'avènement des calculateurs a rendu possible l'analyse de tels systèmes, tout en faisant craquer les cadres anciens du calcul des variations.

Aujourd'hui, le concept d'optimisation est bien dégagé. Il s'agit de prendre la meilleure décision possible compte tenu de contraintes imposées du dehors. La modélisation mathématique suppose que l'on définisse a priori l'ensemble de toutes les décisions possibles, et qu'à chacune d'elles on attribue une note chiffrée. Cette note cote la performance au regard d'un certain cri [...]


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Écrit par :

  • : professeur de mathématiques à l'université de Paris-IX-Dauphine (Centre de recherche de mathématiques de la décision). président honoraire à l'Université Paris-Dauphine

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Pour citer l’article

Ivar EKELAND, « OPTIMISATION & CONTRÔLE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 09 octobre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/optimisation-et-controle/