OPTIMISATION & CONTRÔLE

L'avènement du calcul différentiel, au xvii^e siècle, a permis de caractériser le minimum d'une fonction f par l'équation f′(x) = 0. On résolvait ainsi d'un coup une foule de problèmes pratiques, tout en soulevant de grandes questions théoriques : peut-on affirmer a priori l'existence d'un minimum ? L'équation f′(x) = 0 donne-t-elle une caractérisation complète ? D'où trois grands axes de développement que l'on retrouve aujourd'hui : les problèmes d'existence, les conditions nécessaires et les conditions suffisantes.

Très vite, on a cherché à étendre ces procédés à des problèmes plus généraux, où l'on cherche non plus un point qui minimise une fonction, mais une courbe qui minimise une intégrale. Le xviii^e et le xix^e siècle sont l'âge d'or du calcul des variations et les plus grands, d'Euler à Hilbert en passant par Jacobi (cf. l. euler, d. hilbert, c. jacobi), y apportèrent tous leur contribution. La plupart des problèmes posés sont d'origine physique et mécanique et l'on s'intéresse moins à minimiser l'intégrale qu'à trouver une courbe qui satisfasse aux conditions nécessaires, les fameuses équations d'Euler-Lagrange.

Tout change dans la seconde moitié du xx^e siècle. L'homme ne va plus chercher ses problèmes dans la nature, mais dans l'environnement qu'il se crée. En ingénierie, en gestion, on construit des systèmes complexes, susceptibles d'une modélisation mathématique précise, et dont l'opération se traduit par un coût ou un gain chiffrable. L'avènement des calculateurs a rendu possible l'analyse de tels systèmes, tout en faisant craquer les cadres anciens du calcul des variations.

Aujourd'hui, le concept d'optimisation est bien dégagé. Il s'agit de prendre la meilleure décision possible compte tenu de contraintes imposées du dehors. La modélisation mathématique suppose que l'on définisse a priori l'ensemble de toutes les décisions possibles, et qu'à chacune d'elles on attribue une note chiffrée. Cette note cote la performance au regard d'un certain critère ; par exemple, le gain ou le coût financier que procure la décision. Optimiser, c'est choisir la décision qui a la meilleure note.

Certains systèmes ont une structure temporelle : il faut prendre des décisions au jour le jour, alors que le résultat ne pourra être apprécié qu'au bout d'un temps assez long, une année par exemple. Il s'agit de problèmes de contrôle optimal. La difficulté principale est qu'une décision prise aujourd'hui engage l'avenir. Le rôle de la théorie est d'arbitrer entre le long terme et le court terme.

Enfin, la notion d'optimisation se prolonge de diverses façons. Il peut y avoir plusieurs critères simultanés, c'est-à-dire plusieurs manières d'évaluer une même situation : cela conduit à la notion d'optimum de Pareto (cf. v. pareto et économie mathématique). Ma situation peut dépendre non seulement de ma décision, mais de celles que prendront d'autres individus, partenaires ou adversaires : on rentre alors dans la théorie des jeux (cf. théorie des jeux).

La théorie abstraite

Le cadre général

On se donne un ensemble X et une fonction f : X → R ∪ {+ ∞}. L'introduction de la valeur + ∞ est ici essentielle, tant pour des raisons de commodité théorique que de nécessité pratique, comme on le verra. Un problème d'optimisation (P) consiste à chercher le ou les points x̄ qui réalisent le minimum de f sur X :

Un tel point x̄ sera appelé solution optimale, ou tout simplement solution du problème (P). On appelle souvent X le domaine permis, et ses éléments les points admissibles. La fonction f est le coût, ou le critère. Le problème (P) lui-même sera noté :

Sans conditions supplémentaires, on ne peut affirmer l'existence d'une solution optimale. Par contre, on peut toujours affirmer l'existence de suites minimisantes, c'est-à-dire de suites (x_n) dans X telles que :

Le second membre est soit + ∞ (si X ne rencontre pas l'ensemble des points où f est finie), soit fini, soit − ∞ (on dit alors que f n'est pas bornée inférieurement). On l'appelle souvent la valeur du problème (P). Dire que x̄ est solution optimale signifie précisément que :

Les suites minimisantes sont un instrument très important dans la théorie comme dans la pratique. C'est en établissant la convergence de certaines suites minimisantes qu'on montre l'existence de solutions optimales, et c'est en construisant ces suites minimisantes par des algorithmes appropriés qu'on résout numériquement [...]

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