CONVEXITÉEnsembles convexes

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Aspects quantitatifs

Géométrie des nombres

Ce sont des recherches de théorie des nombres qui furent à l'origine des premiers travaux de Minkowski. Rappelons ici l'énoncé du célèbre théorème de Minkowski : Si C est un sous-ensemble convexe de Rn, symétrique par rapport à l'origine, et de volume V(C) ≥ 2n, alors C contient au moins un point dont toutes les coordonnées sont des nombres entiers.

Empilements

Un empilement est un arrangement de corps convexes tel qu'aucune paire de ces corps n'ait de point intérieur en commun. Indépendamment de l'intérêt que les problèmes d'empilements ont en eux-mêmes, ce genre de problèmes se retrouve également en théorie des nombres, en théorie de l'information, en cristallographie, en botanique, en construction des réacteurs nucléaires, etc. Très souvent, on cherche à réaliser un empilement de densité maximum. Ainsi, l'empilement de densité maximum de cercles égaux dans le plan est obtenu en décomposant le plan en hexagones réguliers égaux et en inscrivant dans chacun de ces hexagones le cercle de diamètre maximum ; ainsi, chaque cercle en touche exactement six autres. Dans le cas de l'espace à trois dimensions, on a conjecturé que l'empilement de densité maximum de boules égales est obtenu par une construction due à Kepler : on commence par diviser R3 en un échiquier à trois dimensions, où les cubes sont coloriés alternativement en blanc et en noir ; on construit ensuite des boules centrées en chacun des centres des cubes noirs et tangentes à chacune des douze arêtes du cube ; de cette façon, chacune des boules en touche exactement douze autres. Cette conjecture n'a été démontrée que pour des empilements assez réguliers.

Empilements

Dessin : Empilements

 

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Inégalités

Il y a toute une série de résultats quantitatifs relatifs au volume, à la surface, au diamètre, etc., d'un corps convexe. Par exemple, l'inégalité isopérimétrique exprime que la surface S et le volume V d'un corps convexe C de Rn vérifient l'inégalité :

où ω est le volume de la boule unité de Rn ; de plus, cette inégalité est une égalité si et seulement si C est une boule, c'est-à-dire que, parmi les corps convexes de volume donné, les boules constituent ceux dont la surface est minimum. De plus, tout corps convexe C de Rn est contenu dans une boule de rayon minimum r, et cette boule est unique ; l'inégalité de Jung affirme que si on désigne par d le diamètre du corps C (c'est la borne supérieure des longueurs des segments dont les extrémités appartiennent à C), on a :
cette inégalité devient une égalité si et seulement si C est un simplexe régulier de n + 1 sommets dans Rn. Un théorème de Loewner affirme que tout corps de Rn est contenu dans un ellipsoïde de volume minimum ; cet ellipsoïde joue un rôle important dans la théorie des modèles expérimentaux.

Volumes mixtes

Soit C1, C2, ..., Ck des corps convexes de Rn, et λ1, λ2, ..., λk  des nombres réels positifs ; l'ensemble des points de la forme :

xi parcourt Ci pour tout i, est un corps convexe C, que nous désignerons par :
lorsque C1, ..., Ck sont fixés, le volume de C s'exprime par un polynôme homogène de degré n en les variables λ1, ..., λk. Certains des problèmes les plus fondamentaux de la théorie quantitative des corps convexes sont liés à l'étude des coefficients de ces polynômes, appelés volumes mixtes de C1, ..., Ck. L'outil de base, dans l'étude des volumes mixtes, est le théorème de Brunn-Minkowski, qui affirme que, pour tout λ compris entre 0 et 1, on a :
c'est-à-dire que la racine n-ième du volume est une fonction concave de λ. Les inégalités pour les volumes mixtes engendrent de nombreuses inégalités d'intérêt géométrique, en particulier l'inégalité isopérimétrique.

Corps de largeur constante

Un corps convexe C de Rn est dit de largeur constante b si la distance entre n'importe quelle paire d'hyperplans d'appui de C parallèles est constante, égale à b. Contrairement à l'intuition, un tel corps n'est pas nécessairement circulaire (dans le plan) ou sphérique. La définition précédente équivaut à la suivante : C a pour diamètre b et tout ensemble réunion de C et d'un point quelconque de Rn n'appartenant pas à C est de diamètre supérieur à b. Par suite, tout ensemble de Rn de diamètre ≤ b est contenu dans un corps convexe de largeur constante b. Cette propriété permet, par exemple, de ramener le problème suivant de Borsuk au cas où X est de largeur constante : Peut-on recouvrir tout ensemble X de diamètre 1 de Rn par (n + 1) ensembles de diamètres < 1 ? La réponse e [...]

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Pour citer l’article

Victor KLEE, « CONVEXITÉ - Ensembles convexes », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 13 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/convexite-ensembles-convexes/