CONVEXITÉEnsembles convexes

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Aspects quantitatifs

Géométrie des nombres

Ce sont des recherches de théorie des nombres qui furent à l'origine des premiers travaux de Minkowski. Rappelons ici l'énoncé du célèbre théorème de Minkowski : Si C est un sous-ensemble convexe de Rn, symétrique par rapport à l'origine, et de volume V(C) ≥ 2n, alors C contient au moins un point dont toutes les coordonnées sont des nombres entiers.

Empilements

Un empilement est un arrangement de corps convexes tel qu'aucune paire de ces corps n'ait de point intérieur en commun. Indépendamment de l'intérêt que les problèmes d'empilements ont en eux-mêmes, ce genre de problèmes se retrouve également en théorie des nombres, en théorie de l'information, en cristallographie, en botanique, en construction des réacteurs nucléaires, etc. Très souvent, on cherche à réaliser un empilement de densité maximum. Ainsi, l'empilement de densité maximum de cercles égaux dans le plan est obtenu en décomposant le plan en hexagones réguliers égaux et en inscrivant dans chacun de ces hexagones le cercle de diamètre maximum ; ainsi, chaque cercle en touche exactement six autres. Dans le cas de l'espace à trois dimensions, on a conjecturé que l'empilement de densité maximum de boules égales est obtenu par une construction due à Kepler : on commence par diviser R3 en un échiquier à trois dimensions, où les cubes sont coloriés alternativement en blanc et en noir ; on construit ensuite des boules centrées en chacun des centres des cubes noirs et tangentes à chacune des douze arêtes du cube ; de cette façon, chacune des boules en touche exactement douze autres. Cette conjecture n'a été démontrée que pour des empilements assez réguliers.

Empilements

Dessin : Empilements

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Inégalités

Il y a toute une série de résultats quantitatifs relatifs au volume, à la surface, au diamètre, etc., d'un corps convexe. Par exemple, l'inégalité isopérimétrique exprime que la surface S et le volume V d'un corps convexe C de Rn vérifient l'inégalité :

où ω est le volume de la boule unité de Rn ; de plus, cette inégalité est une égalité si et seulement si C est une boule, c'est-à-dire que, parmi les corps conv [...]


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Pour citer l’article

Victor KLEE, « CONVEXITÉ - Ensembles convexes », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 novembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/convexite-ensembles-convexes/