MODÈLES THÉORIE DES

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Nous supposons connues les notions de langage du premier ordre L, de L-structure (ou réalisation de L) et de satisfaction d'un énoncé ϕ (formule close, c'est-à-dire sans variable libre) de L, dans une L-structure a, dite modèle de ϕ (on note a ⊨ ϕ). Une théorie de L est, dans le présent contexte, exclusivement sémantique, définie comme un ensemble T d'énoncés de L qui admet un modèle (c'est-à-dire une L-structure satisfaisant tous les énoncés de T). La théorie d'une L-structure a est l'ensemble Th a des énoncés satisfaits dans a. Les théories de structure telles que Th a sont caractérisées par le fait qu'elles sont complètes, c'est-à-dire maximales pour l'inclusion, ou encore contenant, pour chaque énoncé ϕ, soit ϕ soit la négation ¬ϕ. Enfin, deux structures a, b sont élémentairement équivalentes (on note a ≡ b) si Th a = Th b, c'est-à-dire si, pour tout énoncé ϕ, a ⊨ ϕ équivaut à b ⊨ ϕ. Il est clair que deux structures isomorphes (au sens mathématique usuel) sont élémentairement équivalentes, mais la réciproque est fausse : les ensembles Q et R munis de leur ordre habituel sont élémentairement équivalents et non isomorphes (pour une simple raison de cardinalité).

En théorie des modèles, les langages sont en général égalitaires (ils comportent un symbole de relation binaire distingué, l'égalité formelle), ainsi que les structures (l'égalité formelle y est interprétée par l'identité). Aussi nous restreignons-nous dans cet article au cas égalitaire (clause désormais tacite). Nous notons |X| le cardinal d'un ensemble X.

Le théorème de compacité

La théorie des modèles a deux théorèmes fondateurs : le théorème de compacité (ou de finitude) et le théorème de Löwenheim-Skolem (descendant), tous deux très élémentaires. Le premier, qui intervient dans presque tous les résultats de théorie des modèles (sauf précisément dans le second), exprime le caractère fini de la propriété, pour un ensemble d'énoncés, d'admettre un modèle (égalitaire) : « Un ensemble d'énoncés ad [...]

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Écrit par :

  • : docteur ès sciences, professeur de mathématiques à l'université de Paris-VII
  • : maître de recherche au CNRS
  • : professeur de philosophie à l'université de Paris-IV-Sorbonne, ancien directeur du département d'études cognitives, École normale supérieure

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Pour citer l’article

Gabriel SABBAGH, Daniel LASCAR, Daniel ANDLER, « MODÈLES THÉORIE DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 août 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-modeles/