INFINI, mathématiques

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L'âge classique

Convenons de nommer « âge classique » la période qui, s'inscrivant dans le champ de la révolution galiléenne, a vu, en même temps que l'essor du cartésianisme et celui des grands systèmes issus de lui, le bouleversement de la cosmologie traditionnelle, l'apparition et l'affermissement du calcul infinitésimal, la mise au jour des principes et des méthodes de la physique mathématique. Cette seule énumération permet de désigner le point où il convient de se placer, si l'on veut, pour l'âge classique, tracer le profil du concept d'infini mathématique. L'œuvre de Leibniz se détache comme la région où se nouent les fils de cet écheveau embrouillé que commence à constituer la question de l'infini.

La rupture du calcul infinitésimal

Marquons d'abord la rupture qu'a été la mise en œuvre du calcul infinitésimal, rupture qui a affecté en premier lieu le niveau opératoire et dont nous pouvons aujourd'hui désigner la racine. Ce fut la triple exigence de définir rigoureusement les concepts cinématiques de vitesse instantanée et d'accélération, de produire les instruments analytiques propres à préciser et à généraliser le concept de courbe, de promouvoir une mathématique qui fût à la hauteur de la tâche théorique inaugurée par Galilée : chercher à exprimer « dans la langue que parle la nature et qui est mathématique » les lois dynamiques qui régissent le mouvement des corps. À l'intérieur du champ mathématique, ces exigences débouchaient sur la mise en évidence de deux concepts : celui de fonction, sans lequel on ne peut donner pleine consistance à l'idée de loi physique ; celui de différentielle (ou de « fluxion », dans le langage newtonien), sans lequel il faut renoncer à poursuivre rigoureusement l'analyse locale du mouvement, et donc à en formuler les lois. Cet enrichissement de la mathématique a été pensé comme un retour à Archimède, au-delà de la tradition d'Apollonios (à laquelle, on le sait, Descartes était resté fidèle). Que, dans ce retour, les méthodes archimédiennes aient été déracinées et interprétées, arrachées aux limitations inhérentes à la mathématique grecque, c'est ce dont peuvent nous convaincre bien des déclarations de Leibniz, là où, contre le finitisme cartésien, il en appelle, à son propre avantage et pour marquer la supériorité de son calcul, à l'exemple et à l'autorité d'Archimède. Mais, à s'en tenir là, on ne mesurerait pas toute la force de la rupture. Le développement du nouveau calcul et, après Newton et Leibniz, son rapide essor consacraient un déplacement de la mathématique tout entière. Elle ne s'inscrit plus au ciel éternel où demeurent les essences fixes. Elle se manifeste comme instrument de rationalité, au lieu où est le monde, dans l'organisation des mouvements, dans la contexture des corps, dans l'ordre et la connexion des mesures. Et, si l'établissement de la mathématique en ce lieu exigeait l'usage de dx, il n'y a rien d'étonnant à ce que, en dépit des difficultés logiques auxquelles il donnait lieu, l'infini ait acquis, dans l'analyse en formation, son droit de cité.

Une autre circonstance y a sans doute aidé. Elle ne vient pas de la mathématique, mais de la philosophie et de la cosmologie. En ces domaines, il a fallu affronter l'infini que les Grecs avaient contourné, et s'efforcer d'en constituer un concept. L'élaboration théologique et métaphysique a précédé ici l'exigence cosmologique, qui pour l'essentiel est post-copernicienne (cf. cependant Nicolas de Cues). Mais les deux faces du concept s'articulent sur la même problématique dès l'instant où l'on se pose cette question : « Le prédicat infini convient-il d'une manière univoque à Dieu et au monde ? » Question ancienne, mais que le congé donné à la cosmologie du De caelo, le triomphe définitif dans les Principia de Newton des principes galiléens posent désormais en termes neufs. Dans le champ traditionnel, la deuxième partie de la question n'avait de sens qu'ex hypothesi, et pour les besoins de la cause. En admettant qu'il y ait un infini dans les choses, comment le penser, eu égard au seul infini véritable, celui de Dieu ? Telle était la forme de la question traditionnelle. Il n'en va plus de même désormais. Si le monde matériel, domaine du mouvement local, est homogène à lui-même en tout point, si les lois qui règnent dans les cieux sont les mêmes que celles de ce monde « sublunaire », alors se trouve posée, pour l'Univers lui-même, la question que posait, dans le champ des grandeurs continues, le problème de leur divisibilité et celui de leur indéfinie extensibilité. La trame de l'Univers n'est-elle pas cet espace homogène dans lequel nous ne pouvons concevoir, ni selon l'addition, ni selon la division aucun principe de limitation ? Quelle que soit la réponse que l'on entende ici donner à la question de l'infinité du monde ou à celle de l'infinie divisibilité de la matière, leur mise en œuvre, dans ce champ que la révolution galiléenne a libéré du finitisme aristotélicien, exige l'analyse en une réflexion explicite de la logique interne du concept d'infini. Cette réflexion est à vrai dire un recommencement : la remise en chantier d'un concept que la tradition des théologiens et des philosophes a déjà tourné et retourné en tout sens. Mais cette réflexion n'est plus déracinée : elle s'inscrit au lieu même où s'opère la connaissance effective, au lieu où se constitue l'instrument mathématique propre à la promouvoir. Dès les commencements, nous en trouvons l'indice chez Galilée lui-même. Bien qu'il ait laissé indécise la réponse à la question de l'infinité du monde, il a souligné les exigences appelées par la constitution du concept de l'infini, les contraintes internes auxquelles elles soumettent la pensée : et particulièrement celle-ci, que l'« axiome » qui semble constitutif de la grandeur (le tout est plus grand que la partie) doit y être récusé. Il le montre en construisant entre les entiers successifs et leurs carrés une relation de correspondance univoque et réciproque. Cela, au dire de Pascal, ne devrait pas manquer de donner aux athées un vertige salutaire, mais témoigne d'un renversement remarquable par rapport à la tradition hellénique : mieux valait alors contourner l'infini et sauver la logique ; ici, mieux vaut affronter l'infini, quitte à paraître violer les règles d'une logique usuelle.

Ainsi, de trois côtés au moins, l'infini se désigne comme thème d'une réflexion explicite. Établir son statut est, en cet âge classique, une tâche épistémologique fondamentale. Elle s'articule à la fois sur les champs opératoires les plus prégnants (le « calcul ») et, à la frontière de la métaphysique et de la cosmologie, sur les domaines spéculatifs les plus anciennement enracinés.

Spinoza

Or cet effort de réflexion se poursuit sur une corde raide. Une distorsion de plus en plus grande se manifeste entre la racine métaphysique du concept et les exigences de thématisation liées à l'usage du calcul infinitésimal, et plus généralement à l'usage d'opérations mathématiquement bien définies. Déjà Spinoza, dans une lettre à Louis Meyer (cf. 

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Jean Toussaint DESANTI, « INFINI, mathématiques », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 01 décembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/infini-mathematiques/