NUMÉRIQUE CALCUL

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Développements asymptotiques

Dès la fin du xviie siècle se pose le problème de l'évaluation des restes des séries convergentes et des sommes partielles des séries divergentes. Le premier cas se présente lors du calcul des sommes de séries convergeant lentement, telles que les séries de termes généraux 1/n2 et 1/n3. Le second cas apparaît à propos de l'étude de la série harmonique de terme général 1/n et du calcul des probabilités, lequel nécessite l'emploi de grands nombres, notamment n ! et Cpn.

Newton, Jean Bernoulli et Stirling (1692-1770) résolvent ces problèmes sur des exemples. Euler en 1732 et Maclaurin en 1742, indépendamment, étudient le cas général. Un exposé synthétique, suivi de nombreuses applications, est donné par Euler dans les Institutiones calculi differentialis (1755). Bien entendu, la convergence des processus mis en jeu est traitée de manière expérimentale. Jacobi (1804-1851) et Cauchy établissent des majorations du reste de la formule d'Euler-Maclaurin. D'autres applications de cette formule sont dues à Abel (1802-1829), Gauss (1777-1855), Tchebychev (1821-1894) et Hermite (1822-1901).

Pour les séries convergentes, on obtient le résultat suivant : soit f une fonction indéfiniment dérivable sur [1, +∞[ à valeurs complexes, intégrable sur cet intervalle ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre 2 r + 1. Si, en outre, chacune de ces dérivées est négligeable devant la précédente, la série de terme général (n) converge, et

où les nombres βn sont les nombres de Bernoulli, définis par la relation :

En particulier, β0 = 1, β= − 1/2, β2p+1 = 0 si ≥ 1, β2 = 1/6, β4=−1/30, β6 = 1/42, β8 = − 1/30, β10 = 5/66.

Euler détermine ainsi la somme de la série de terme général 1/n3 à la précision 10-10, en calculant seulement la somme des douze premiers termes et en évaluant le reste par la formule sommatoire. Une méthode directe aurait nécessité le calcul de plus de soixante-dix mille termes.

Pour les séries divergentes, le résultat est analogue : on suppose que f et ses dérivées jusqu'à l'ordre 2 h − 1 ne sont pas intégrables, tandis que les dérivées de l'ordre 2 h à l'ordre 2 


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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, « NUMÉRIQUE CALCUL », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 novembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-numerique/