NUMÉRIQUE CALCUL

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Méthode de dichotomie

Soit g une fonction numérique continue et strictement monotone sur un intervalle [ab], telle que g (a)(b) < 0. Il existe alors un élément α de [ab] et un seul tel que g (α) = 0. On peut trouver des valeurs approchées de α par l'algorithme suivant : supposons par exemple g (a) > 0 et (b) < 0 ; posons a0 = a, b0 = b, et :

Si (c0) ≤ 0, on pose a1 = a0 et b1 = c0 ; sinon, on pose a1 = c0 et b1 = b0. Par récurrence, on construit une suite ([anbn]) d'intervalles emboîtés telle que, pour tout entier naturel n, on ait g (an) > 0, g (bn) ≤ 0 et :
Les suites (an) et (bn) sont adjacentes, et elles convergent toutes deux vers α. En outre, pour tout entier naturel n, α appartient à l'intervalle [an,bn].

Dès le xvie siècle, cette méthode est employée pour séparer les racines d'une équation algébrique. La convergence n'est pas très rapide ; c'est pourquoi cette méthode n'est pas utilisée lorsqu'on désire obtenir α avec une grande précision.

En revanche, le méthode de dichotomie a eu une importance considérable dans le développement des concepts fondamentaux de l'analyse :

– Lagrange (1736-1813), dans La Théorie des fonctions analytiques (1797), utilise une variante de cette méthode pour démontrer le principe fondamental du calcul différentiel, suivant lequel une fonction admettant une dérivée positive est croissante ; ce principe est à la base de la formule de Taylor.

– Bolzano (1781-1848), dans Une preuve analytique... (1817) et Cauchy (1789-1857), dans son Cours d'analyse à l'École polytechnique (1821), utilisent la dichotomie pour démontrer le théorème des valeurs intermédiaires.

– L'école de Weierstrass (1815-1897) utilise systématiquement la dichotomie pour démontrer les théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues (existence d'un maximum, continuité uniforme). Ces résultats reposent sur le théorème suivant, dit de Bolzano-Weierstrass : de toute suite bornée de nombres réels, on peut extraire une suite convergente.

Méthode d'interpolation linéaire (ou « regula falsi »)

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  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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Pour citer l’article

Jean-Louis OVAERT, « NUMÉRIQUE CALCUL », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 mai 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-numerique/