TOPOLOGIE Topologie générale

Espaces compacts

Les intervalles fermés bornés de R ont des propriétés topologiques remarquables, connues depuis très longtemps ; ces propriétés découlent toutes du fait qu'ils vérifient la condition suivante, appelée condition de Borel-Lebesgue (cf. le théorème (7) du chapitre 4 de l'article calcul infinitésimal - calcul à une variable).

Condition (BL). On dit que l'espace topologique E vérifie la condition de Borel-Lebesgue si, quelle que soit la famille d'ouverts (U_i), i ∈ I, de E telle que :

il existe un sous-ensemble fini J de I tel que :

Par définition, on dit qu'un espace topologique est compact s'il est séparé et s'il vérifie la condition de Borel-Lebesgue. Cette condition est équivalente à chacune des deux suivantes.

Condition (BL)′. Quelle que soit la famille (F_i), i ∈ I, de fermés de E d'intersection vide, il existe un sous-ensemble fini J de I tel que l'intersection des F_i, pour i ∈ J, soit vide.

Condition (BL)″. Quelle que soit la famille (F_i), i ∈ I, de fermés de E, si, pour tout sous-ensemble fini J de I,

est non vide, il existe (au moins) un point de E qui appartient à tous les F_i.

Exemples

L'intervalle[a, b]de R est compact. Plus généralement, un sous-espace A de R est compact si et seulement s'il est fermé et borné. De la même façon, les sous-espaces compacts de Rⁿ sont les fermés bornés. Tout sous-espace fermé d'un compact est compact. Tout produit d'espaces compacts est compact.

Propriétés

Citons les plus importantes propriétés des espaces compacts.

1. Si X est compact et Y séparé, l'image d'une application continue de X dans Y est un sous-espace compact de Y. En particulier, si A est compact, l'image d'une application continue f de A dans R est un sous-espace compact de R ; c'est donc un sous-ensemble fermé borné de R ; c'est pourquoi f est une application bornée et atteint ses bornes.

2. Propriété de Bolzano-Weierstrass. Soit (u_n), n ∈ N, une suite de points du compact A. Alors, il existe un point a de A tel que tout voisinage de a contienne u_n pour une infinité de valeurs de n ; un tel point a est appelé une valeur d'adhérence de la suite.

La démonstration, par l'absurde, est la suivante : Si, pour tout point x de A, il existait un voisinage ouvert V_x de x qui ne contienne qu'un nombre fini des u_n, alors, comme N est infini, l'ensemble A ne pourrait pas être recouvert par un nombre fini des V_x.

Réciproquement, cette propriété de Bolzano-Weierstrass entraîne la propriété de Borel-Lebesgue si l'espace considéré est un espace métrique.

3. Tout espace métrique compact est complet (cf. espaces métriques, chap. 3).

4. Tout sous-espace compact d'un espace topologique E est un fermé de E.

5. Toute fonction continue d'un espace compact dans un espace métrique est uniformément continue (cf. espaces métriques, chap. 2).

Espaces localement compacts

On dit qu'un espace métrique est localement compact s'il est séparé et si chacun de ses points possède un voisinage compact. On se convainc de l'importance des espaces localement compacts en remarquant que tous les espaces de la géométrie (R, Rⁿ, surfaces, courbes, variétés différentiables...) sont localement compacts. Tout espace localement compact est homéomorphe à un ouvert d'un espace compact. En fait, on peut même s'arranger pour que cet ouvert soit le complémentaire d'un unique point de l'espace compact (compactification d'Alexandrof).

Parmi les propriétés les plus utiles des espaces localement compacts, citons les deux suivantes, qui concernent les problèmes de prolongement de fonctions continues lorsque E est un espace localement compact « dénombrable à l'infini », c'est-à-dire tel qu'il existe une famille dénombrable (K_n), n ∈ N, de sous-espaces[...]