TOPOLOGIETopologie générale

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Espaces compacts

Les intervalles fermés bornés de R ont des propriétés topologiques remarquables, connues depuis très longtemps ; ces propriétés découlent toutes du fait qu'ils vérifient la condition suivante, appelée condition de Borel-Lebesgue (cf. le théorème (7) du chapitre 4 de l'article calcul infinitésimal - calcul à une variable).

Condition (BL). On dit que l'espace topologique E vérifie la condition de Borel-Lebesgue si, quelle que soit la famille d'ouverts (Ui), ∈ I, de E telle que :

il existe un sous-ensemble fini J de I tel que :

Par définition, on dit qu'un espace topologique est compact s'il est séparé et s'il vérifie la condition de Borel-Lebesgue. Cette condition est équivalente à chacune des deux suivantes.

Condition (BL)′. Quelle que soit la famille (Fi), i ∈ I, de fermés de E d'intersection vide, il existe un sous-ensemble fini J de I tel que l'intersection des Fi, pour ∈ J, soit vide.

Condition (BL)″. Quelle que soit la famille (Fi), i ∈ I, de fermés de E, si, pour tout sous-ensemble fini J de I,

est non vide, il existe (au moins) un point de E qui appartient à tous les Fi.

Exemples

L'intervalle [ab] de R est compact. Plus généralement, un sous-espace A de R est compact si et seulement s'il est fermé et borné. De la même façon, les sous-espaces compacts de Rn sont les fermés bornés. Tout sous-espace fermé d'un compact est compact. Tout produit d'espaces compacts est compact.

Propriétés

Citons les plus importantes propriétés des espaces compacts.

1. Si X est compact et Y séparé, l'image d'une application continue de X dans Y est un sous-espace compact de Y. En particulier, si A est compact, l'image d'une application continue f de A dans R est un sous-espace compact de R ; c'est donc un sous-ensemble fermé borné de R ; c'est pourquoi f est une application bornée et atteint ses bornes.

2. Propriété de Bolzano-Weierstrass. Soit (un), ∈ N, une suite de points du compact A. Alors, il existe un point a de A tel que tout voisinage de a contienne un pour une infinité de valeurs de n ; un tel point a est appelé une valeur d'adhérence de la suite.

La démonstrat [...]

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Claude MORLET, « TOPOLOGIE - Topologie générale », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 septembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/topologie-topologie-generale/